PU»H

et 1 equaliou (2) devient ;

dh . H»

"^°' -£-iL ^^ ■

H» gti Ayant tracé la ligne AaA' parallèle à XY et à une distance H de celle-ci, donnons à h, dans l'équation (3), des valeurs inférieures à H, ce qui correspondra au remous d'abaissement.

Dans ce cas, remarquons' que -^ , tout en restant négatif, devient

d'aulaiU*i)lus petit que h se rapproche davantage de H, et qu'il devient nul pour A = H ; il suit de là que la courbe vers Tamont se rapproche de plus en plus de la surface naturelle du courant, et que ces deux lignes sont asymptotes entre elles. Si Ton fait décroître peu à peu Tordoiinre variable A^-rinclinaison de la tangente sur le foiid i^a en

^h ^ . . . . ^ . . . . , m VÏPFF" croissant, el — finit par devenir infini pour la relation A = 1/ ,

*/ valeur que nous supposerons inférieure à H. La courbe â donc quelque

part, en m, une tangente perpendiculaire au fond, et telle que sa dis-

. . , , J/ U*H* lance vtn soil égale a V/ •

A partir du poiut m la courbure change et devient concave vers l'extérieur, comme pour* le cas de i = et de i > 0, produisant ainsi une branche dont il est inutile de s'occuper.

La courbe Ubni représente donc le remous d'abaissement, c'est-àdire que, si, par TelTet d une modification quelconque du lit, la surface naturelle du régime uniforme estabaissée de a en b à Pun de ses points, la partie n\ de cette surface sera abaissée en B6.

Cherchons maintenant la courbe du remous de gonflement; à cet

effet, donnons a h des valeurs plus grandes que H dans Téquation (3).

dh Dès lors— 7-- devient positif; la courbe est donc convexe vers le fond. as

A mesure que h diminue et se rapproche de H, la branche vers Tamont

tend à se raccorder avec la ligne du régime uniforme; elle lui est

dh encore asymptote puisque — =0 pour A == H. Vers Taval, Tincli-

naison de la tangente sur le fond va en croissant avec h, et elle tend indéfiniment vers une valeur limite égale à i, c'est-à-dire vers un point de la courbe tel que la tangente y soit horizontale.

La courbe CcC s'appelle le remous de gonflement ou d'exhaussement; elle représente en cC ce que deviendrait par exemple la partie aX de la surface naturelle d'un cours d'eau lorsque, celle-ci est soulevée de a en c, à un point quelconque a de sa ligne primitive.

Il est important de remarquer que, pour un cours d'eau déterminé par sa pente i et sa hauteur H, il n'existe qu'une seule courbe de remous; celle-ci, une fois connue, détermine tous l^s remous qp'onpeut avoir à considérer sur ce courant. Supposons, par exemple, qu'un barrage ait soulevé de 1"»,00 en c' les eaux qui primitivement suivaient la ligne Aa"aa' du régime uniforme, et qu'aux points c et c" les ordonnéo^ ca et c'^a'^ de l'exhaussement soient égales respectivement à 0",80 et à 0"*,60. Si l'on demandait de construire la courbe d'exhaussement produite par un barrage «tabli en a'\ et tel qu'en ce point a" le niveau soit relevé de 0,60, l'on obtiendrait évidemment la portion c"C dé la grande branche Cc"cc'C' ; cette partie de courbe en amont du remous 0™,60 appartient donc non-seulement à ce remous spécial mais encore à celui de 0™,80 comme à celui de 1™,00, qui ne sont tous que l'amont (Tun remous plus grand. Ainsi c'est à tort que, dans presque tous les traités d'hydraulique, l'on a considéré la courbe des remous comme ayant son origine au point où lès travaux avaient occasionné le plus fort exhaussement. Quoiqu'on^ne cherche généralement que le remous en amont des barrages, l'analyse donne là forme de la courbe entière jusqu'à la limite asymplotique de Taval.

Dans Texamen qui précède, nous avons admis l'hypothèse de

ÏPÏP" u» •

< H, ce qui revient a supposer -^^ < 1. Cette condition

peut encore s'exprimer autrement : en efl'et, si Ton pose avec Dupuil

l'équation

l'on en tire :

et la conditioD ci-dessus devient i <g^; ou bien, en remplaçant ^ par

Ainsi, d'après Dapuit, Ton peut tirer les conclusions suivantes : i"" Dans tous les cours d'eau dont la pente est inférieure à 0"',003K par mètre, les courbes de remous ont la forme trouvée plus haut, et leur raccordement vers Tamout se fait d'une manière asymptotique avec la ligne du régime uniforme. Quant au raccordement vers l'aval, il a lieu, pour le remous de dépression, par une partie verticale d'autant plus grande que t est plus considérable; dans le remous de gonflement la courbe s'éloigne au contraire de la ligne du régime uniforme, et tend à devenir horizontale à l'infini. S*" Lorsque t = 0'°,0035, la courbe du remous de gonflement est une horizontale ; celle du remous d'abaissement n'offre plus de courte de raccordement vers l'aval ; celui-ci s'opère par une chute brusque. 3® Au-dessus de i = 0,0035 le calcul donne pour la courbe de dépression une forme qui ne peut se produire dans la réalité; quant à la surface du remous d'exhaussement elle devient alors convexe vers l'extérieur, et se raccorde avec la ligne du régime uniforme par une croupe qui forme ressaut.

Si dans la condition i < g^ l'on substitue 6i à (3, en donnant à b^ la valeur 0,0004 adoptée par Tadini, Bresse, etc., l'on ne modifie en rien l'ensemble des conclusions de Dupuit attendu qu'une pente de 0'",004 par mètre est encore de beaucoup supérieure à celle des cours d'eau navigables.

Il nous reste à établir l'équation générale de la courbe des remous par l'intégration de la relation différentielle (1). Ainsi que nous l'avons dit, Dupuit est le premier qui ait opéré l'intégration de l'équation différentielle du mouvement permanent varié, et qui en ait déduit, pour un grand nombre de cas pratiques, des formules simples faciles à calculer. Nous suivrons ici sa méthode. A cet effet, remplaçons dans

l'équation (i)— par et ^q^ par — a gH ; nous aurons :

îd. = . ^ ^ '

<'-"'{'■+»(• -4) +-(rTr-#))

Il est plus commode, pour la pratique, de compter les ordonnées des courbes d'exhaussement et de dépression à partir de la ligne du régime uniforme; pour introduire cette hypothèse dans Téquation précédente il suffit d'y remplacer respectivement A par H + j/ ou par H — y; Ton substitue ainsi à la variable h une nouvelle variable y.

Supposons qu'il s'agisse du remous d'exhaussement; nous aurons par la substitution deH + ykh :

. ds

H»(l-^)+îl» + 3H!,« + 5H»î,

Pour simplifier les calculs, négligeons la quantité -^-r-r qui est tou-

«^ o Lt

jours très-petite, même dans les canaux étroits ; posons ensuite :

Or, il est facile de s'assurer que le dernier terme !, „, . de

5 HLt

la valeur de n peut aussi être négligé dans la pratique : il suffit d*y remplacer H t par a U + |3 U*, et de considérer alors comme négligeable l'expression a U en comparaison de |3 U^. L'on voit du resle

que la valeur de n est toujours comprise entre -^eil, pour toutes les

valeurs de L, depuis zéro jusqu'à l'infini. Cela admis, nous aurons,

en décomposant en facteurs la fraction rationnelle :

qui représente Téquation diflérentielle de la courbe de gonflement rap-

portée à la surface naturelle ou du régioie uniforme. Il vient par Tintégration :

is + C = y

5 ^ (ni^n) 2 m

X arc tang,

Hy/sn-i;)

La condition de s = pour y == Y quantité connue, déterminerait

la constante C. Par suite Ton obtiendrait une équation en s eiy qui

serait celle du remous de gonflement. Mais, pour éviter la recherche

des arcs tangentes dans les tables trigonométriques , remplaçons Tare

par son développement en série ; nous aurons, en désignant ;/ + -^ ^

par X et H V/ 3 n — — par A :

Arc(tang.=^)=-^-+^ ........

Gomme cette série sera presque toujours assez convergente pour qu'on puisse en négliger le deuxième terme, Tintégrale deviendra :

Telle est Téquation générale de la courbe du remous de gonflement. Mais dans les cours d'eau naturels, Ton peut exprimer cette équation sous une forme beaucoup plus simple, attendu que Ton peut y

supposer généralement = 1 . Dès lors, en introduisant cette

hypothèse dans la relation (3) et en négligeant le terme — =r , Ton

obtient :

Si l'on remplace \ / „^ par la série de termes qui forment le quotient de la division de (H + y)', ou «», par (H + y)» — H», ou a» — 1, Ton obtient par Tintégration :

dans laquelle C est encore déterminé par la condition 5 =0 et j/ = Y. Le deuxième membre présente, comme tantôt, yue série convergente; elle offre, en oulre, ainsi que sa dérivée, une propriété très-remarquable, c'est que :

Il eu résulte que, si Ton construit la courbe que cette équation représente, dans l'hypothèse de H =^ 1, c'est-à-dire en posant :

ses abscisses s et ses ordonnées y seront dans un rapport «constant avec celles du remous sur un cours d'eau quelconque ; il suffirait donc de connaître les premières pour en déduire les autres par une simple proportion. M. Dupuit a utilisé cette propriété dans la construction d'une table de remous destinée à éviter l'emploi de l'équation (6) pour la solution des divers problèmes. Cette table ne fait que reproduire les valeurs de la série du deuxième membre, dans l'hypothèse d'une hauteur de l*» pour le régime uniforme. Ainsi, quel que soit le problème à résoudre, qu'il s'agisse de trouver s en fonction de 1/ ou t/ en fonction de s, dans un cours d'eau de hauteur H' différente de 1"", il suffit de chercher la solution dans la table et de multiplier le résultat par H'. L'une des colonnes contient une série de valeurs de y, depuis O^yOl jusqu'à 3",00; l'autre colonne présente en regard les valeurs correspondantes de is. L'aujteur a construit une table analogue pour les remous d'abaissement.

Lorsque la hauteur y du remous est très-petite par rapport à celle du régime uniforme, l'équation de la courbe peut se mettre , d*après Dupuit, sous la forme suivante d'une extrême simplicité :

relation dans laquelle Y et y représentent deux ordonnées, y étant toujours la plus petite, et les distances étant comptées à partir de cette dernière ; Tun des deux remous Y ou y est censé connu dans tous les problèmes. L'exemple suivant fera mieux saisir Tapplication de cette formule.

L'on suppose qu'un remous de 0",50 se soit produit en un point d'un cours d'eau naturel très-large et tres-profond ; chercher à quelle distance de ce point le remous sera réduit à O^j^S.

La formule donnera, dans ce cas :

« = -— ■ iog. 2 = 0,231 —

La question sera donc résolue lorsqu'on donnera la pente i, ainsi que la profondeur P = H -h Y -f y, ou approximativement la profondeur du cours d'eau dans l'étendue du remous.