CHAPITRE CINQUIÈME

PRESSION RECIPROQUE EXERCEE PAR LES SOLIDES ET LES FLUIDES DANS LEUR MOUVEMENT RELATIF.

A. NOTIONS GENERALES

Lorsqu'un corps solide en mouvement est plongé dans un fluide indéfini quelconque, liquide ou gazeux, et relativement en repos, il éprouve une série de pressions dont la résultante est généralement opposée à son mouvement relatif par rapport à ce fluide. Cette action contraire constitue donc une véritable résistance; par suite les auteurs lui ont donné le nom de résistance des fluides, ou résistance des milieux. L'on est convenu aussi de dire qu'un fluide est indéfini, dans les phénomènes que nous considérons, lorsque les dimensions du canal ou du réservoir qui le contient sont très-considérables par rapport au solide en mouvement, c'est-à-dire lorsque l'espace compris entre les parois du lit et celles du corps est assez grand pour qu'il n'y ait pas lieu de tenir compte de la réaction des premières sur le liquide.

D'un autre côté, si l'on suppose que le corps solide précédent soit fixé d'une façon relative par rapport à la masse fluide et que celle-ci seule ait une certaine vitesse, la résistance qbe le solide en question va opposer au mouvement de cette masse constitue une action analogue à celle du cas précédent, mais qui, d'après certains auteurs, lui serait supérieure pour de mêmes éléments et une même vitesse relative.

Enfin, il ne faut confondre aucune des deux pressions considérées avec l'efi'ort produit par le choc continu d'une veine fluide finie contre un corps solide d'une certaine surface. Dans ce dernier cas seulement

Ion est parvenu à exprimer analytiquement Tintensité de la résistance en fonction des quantités qui la déterminent.

Plusieurs causes ont empêché jusqu à présent d'arriver à une solu (ion satisfaisante des deux premiers problèmes. L'une d'elles consiste dans rinfluence de la viscosité ; ainsi que nous Tavons vu» il est difii* cile en général d'en tenir compte exactement, et cette difficulté devient souvent ici insurmontable. D'un autre côté, le mouvement des filets liquides étant dérangé par la présence d'un obstacle solide, il serait nécessaire, pour connaître la résultante des pressions, de chercher en quoi consiste ce dérangement ; c'est ce que Ion n'a pu établir par l'analyse. Aussi n'a-t-on que des connaissances très-imparfaites sur la pression réciproque des fluides et des solides pendant' leurs mouvements relatifs ; et les résultats d'expérience, dus en grande partie à Dubuat, sont trop incertains pour qu'on puisse les appliquer en toute sécurité.

Il nous suffira donc de faire connaître quelques remarques générales et d'examiner succinctement les indications de l'expérience sur les pressions réciproques d'un solide et d'un fluide indéfini dans le mouvement rectiligne uniforme.

B. RÉSISTANCE DTN PRISME FIXE AU MOUVEMENT RECTILIGNE ET UNIFORME DUN FLUIDE INDÉFINI QUI LE RENCONTRE NORMALEMENT.

Supposons, avec Dubuat, qu'un prisme droit soit plongé dans un fluide indéfini de façon que son axe se trouve dans la direction du mouvement, et par suite sensiblement horizontal. Si le fluide était en repos, chacun des points de la surface du solide éprouverait une pression hydrostatique représentée par l'abaissement de ce point en dessous du niveau de la ma^se choquante ; les bases d'amont et d'aval étant égales et également abaissées, les pressions qu'elles recevraient seraient égales et contraires, par suite il n'y aurait aucune tendance au ntouvemeut dans le sens de l'axe. Cela posé, admettons qu'il y ait courant, et qu'il soit composé de filets primitivement parallèles et à peu près rectilignes : il se présente alors des phénomènes tout differcals. Du côté de Tamonl les filets fluides sont déviés et forment des

courbes qui présentent leur convexité à la base antérieure du prisme ; longeant alors les faces de celui-ci avec un certain accroissement accéléré de vitesse, ils tendent à reprendre vers la base d*aval leur direction primitive; les courbes décrites tournent ici leur <;onca vite vers cette base, et les filets vont se réunir derrière elle tout en conservant une partie de Texcès de vitesse acquise, partie qui sera d^autant plus grande que leur trajet le long du prisme aura été plus court.

D'après Dubuat, Taugmentation de vitesse des filets fluides le long des faces du prisme proviendrait de ce qu ils seraient alors resserrés dans un espace moindre, attendu, dit-il, que la masse fluide entre le prisme et les berges du lit fait, jusqu'à un certain point, TofiSce d'un corps résistant.

Continuant ensuite son analyse. Fauteur explique comment il se fait que les divers mouvements des filets tendent à augmenter la pression sur la base antérieure du prisme et à la rendre supérieure à la pression hydrostatique ; tandis qu'à la baâe postérieure ou d'aval il se produit une diminution par suite de l'accélération de vitesse produite par l'obstacle, et par conséquent la pression hydrostatique y est plus forte que la pression réelle.

Il n'y a pas lieu de tenir compte de l'action des composantes sur les faces latérales, car élant toujours égales et opposées elles s'entre-détruisentet ne produisent aucun mouvement.

Ces considérations admises, déterminons Tintensilé totale de la pression sur le prisme plongé. Désignons par :

R' la résuUantedes actions positives, dues à l'obstacle, qui se produisent sur la base d'amont;

R" la résultante des actions négatives qui se présentent à l'aval ;

R la résultante des forces R' et R".

Les forces R' et R" sont nommées respectivement par Dubuat pression vive et non^ression. Dans les cas ordinaires, ces résultantes, ainsi que les actions hydrostatiques correspondantes sur les deux bases, ont une direction commune, parallèle au courant ; il en résulte que leur résultante totale R est égale à leur somme arithmétique R' + R".

Supposons encore approximativement que la vitesse soit constante et égale à V^ "igh pour tous les filets, et que la figure de ceux-ci ne

change pas pour un même corps plongé dans des courants d'inégale rapidité.

Soit H la pression hydrostatique moyenne, ou rabaissement de Taxe du prisme en dessous de la surface du liquide ; M' et M'' deux constantes, à déterminer par expérience, qui dépendent de la forme du corps, de sa position dans le courant, ainsi que de la section S de la base d'amont ou, plus généralement, de la surface de la section du solide perpendiculaire à la résultante totale. Le liquide employé par Dubuat, dans ses expériences, étant deTeau, nous admettrons avec lui que le poids A du mètre cube est sensiblement égal à Tunité.

Les pressions hydrauliques étant proportionnelles à la hauteur h, nous pouvons représenter la pression vive, sur Tunité de surface, par Wh, et la non-pression par Wh. La pression totale sur la base d'amont sera donc H + M' h ; elle sera H — M"A sur la base d'aval. Ces deux forces étant supposées parallèles au courant, elles agissent en sens contraire, et leur résultante ou la force qui pousse le prisme est égale à leur différence arithmétique. L'expression de cette résultante, ou plutôt la hauteur de la colonne qui la mesure, sera donc, par unité de surface :

H + M'fc — (H - M"fc) = (M'-h M") ft = R

La pression totale serait représentée par RS. L'expérience montre en effet que lorsque deux corps solides semblables sont semblablement placés dans un courant indéfini, les filets liquides déviés ont des figures semblables; Ton en conclut qu'aux points homologues des deux corps la pression reste la même par unité de surface. Par suite, les pressions R' et R'' sont, pour ces solides, proportionnelles au carré des côtés homologues, c'est-à-dire aux aires S' et S" d'une section occupant dans les deux corps une position semblable.

Il résulte de ce qui précède que les forces R' et R" sont proportionnelles :

l"* Au carré de la vitesse U du courant, puisque h = -^ ;

^ Au poids A du mètre cube du liquide; S"" A l'aire S de la section perpendiculaire. • Quelques expériences cependant semblent prouver que le troisième principe n'est pas exact quand il s'agit, au lieu de solides prisma-

tiques, de plaques ou paleltes très-minces. Ainsi ifarto^^e ayant exposé à l'action (i*UD courant de la Seine une plaque carrée, plus petite dans le rapport de.2S à 100 que celle qu'avait employée Dubuat, a trouvé que la pression totale R croit dans un rapport plus grand que celui des surfaces choquées, sans toutefois pouvoirs déterminer la loi de Taccroissement.

Voici Tune des expériences faites par Dubuat pour déterminer les valeurs des constances M- et M".

Les solides plongés consistaient en trois parallélipipèdes rectangles dont la base était un carré de O'^SSS de côté; Tun d'eux consistait en une simple plaque, sa hauteur n'étant que de O'^OOO ; le deuxième formait cube, et le troisième avait 0"»975 de hauteur, c est-à-dire le triple du côté de la base. La vitesse U du courant était de O'^OTK par seconde.

L'appareil employé par Dubuat était muni d'un piézomètre qui lui permettait d'observer, sur les différents points des bases carrées, les pressions hydrauliques, c'est-à-dire les hauteurs des colonnes piézométriques au-dessus ou en dessous de la surface du courant, suivant qu'il mesurait la pression vive ou la non-pression. Ayant mesuré cette pression hydraulique sur 625 points de la base d'amont de chacun des trois prismes, il l'a trouvée constante, quelle que fût la longueur de ces derniers, et égale à 1,19A. Ainsi le coefficient M' de la pression vive a pour valeur constante :

Mais il n'en a pas été ainsi de la non-pression mesurée par l'abaissement de la colonne piézométrique en dessous du niveau du courant : le coefficient M" a varié, et sa valeur a été :

Pour la plaque 0,67

Pour le cube 0,27

Pour le prisme long 0,13

Les non-pressions ont diminué avec la cause qui les produisait, la vitesse des filets liquides à l'aval, vitesse qui diminue à mesure que la longueur des obstacles augmente. Le coefficient M = M' -(- M", entrant dans l'action totale du courant, aurait donc les valeurs respectives 1 ,86, 1 ,46 et i ,34; el la pression totale, ou l'effort de ce courant sur les trois prismes, serait représentée par l ,86 h, 1,46 h et 1,34 h.

D'après d'autres exfiériences de Dubuat, le coefficient M de la nonpression ne diniinuerait pas d'une manière indéfinie à mesure que la longueur du corps augmente, mais jusqu'à une certaine limite seulement au delà de laquelle il se produirait des accroissements.

C. RÉSISTANCE ÉPROUVÉE PAR UN SOLIDE QUI SE MEUT D'UN MOUVEMENT UNIFORME ET RECTILIGNE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI RELATIVEMENT EN REPOS.

1" Solides entièrement plongés.

Depuis Newton jusqu'à Dubuat, tous les hydrauliciens avaient admis que la pression résultante exercée sur un solide fixe par un liquide animé d'une vitesse U était égale à celle que supporterait ce solide doué de la même vitesse U, et semblablement placé dans le fluide eu repos. Mais il semblerait résulter d'expériences faites par ce dernier observateur que, à égalité de vitesse relative et avec un même solide, la pression totale est plus forte dans le premier cas que dans le second,.

Ayant repris la plaque carrée de 0",328 de côté et 0",009 d'épaisseur qui avait donné les valeurs M' = 1,19 et M"= 0,67, il la fit mouvoir, avec la même vitesse de O'^jQTS, dans une eau immobile, et il obtint pour résultat :

M'=l et M" = 0,45

Admettant ensuite que cette valeur M" doit varier pour le cube et le prisme allongé d'une façon analogue à celle du cas précédent, il a

adopté :

Pour le cube M" -- 0,43.-^-^-= 0,17.

Pour le prisme long M" = 0,43. -^41 = 0»10-

Il en résulte pour M ou M' + M" les valeurs 1,43, 1,17 et 1,10, au lieu des quantités 1,86, 1,46 et 1,34 qui se rapportent aux mêmes solides immobiles dans un courant.

Dubuat a expliqué le résultat précédent en supposant que, dans

rétat de repos, Teau se laisse plus facilemeni diviser que lorsqu'elle est en mouvement. Cette explication n*est guère admissible ;^ elle est même opposée aux principes ordinaires de la mécanique. En effet , il est généralement admis que Faction mutuelle de deux molécules dépend uniquement de leurs masses et de leur distance, lorsque la température et Tétat électrique sont censés constants ; or, dans des mouvements relatifs identiques, les masses et les distances restent les mêmes; et, comme Ton ne peut guère supposer qu'il se produise dans le deuxième cas un changement de chaleur ou d'électricité, il est difficile d'y admettre une action mutuelle différente. Il nous parait plus logique de supposer que, dans les diverses expériences de Dubuat, les mouvements relatifs n'étaient pas identiques; que, par suite, le solide produisant un plus grand trouble dans un courant que dans un liquide immobile, il doit exercer dans le premier cas une réaction plus grande, et par conséquent éprouver plus de résistance. Du reste , plusieurs expériences d'autres hydrauliciens n'ont pas abouti aux conclusions de Dubuat; les- différences trouvées par ces auteurs ont été généralement moindres que les précédentes.

Quant aux lois que suit la résistance dans le deuxième cas, elles paraissent être les mêmes que dans le premier. Ainsi, les observations de Borda, Bossut, Dubuat, Vince, Smeaton, etc., constatent que, pour les vitesses ordinaires de 0™,60 à 4*", 00, la résistance est encore sensiblement proportionnelle au carré U' de la vitesse du solide. En dessous de 0"",60 elle diminue dans un rapport inférieur à celui du carré. Gomme précédemment aussi, elle est proportionnelle à la surface S de la base ou de la section qui pousse le fluide, sauf pour les plaques minces, où elle croit dans un rapport plus considérable. L'expression générale de la résistance R est donc encore :

R = MASfe ou bien : R = MAS~—

2flf

Si le liquide employé est l'eau :

R = MSfc ou bien: R = MS-^

expression dans laquelle M désigne un coefficient numérique variable avec la forme et les dimensions du corps en mouvement.

â"* Solides prismatiques flottants.

Les considérations et les résultats relatifs aux solides entièrement plongés s'appliquent aux corps flottants, si Ton a soin de donner pour valeur à S, dans la formule générale, Taire de la partie plongée de la section perpendiculaire à la résultante.

En résumé, dans les solides prismatiques, dont la longueur excède V^S, le coefficient M varie de 1 ,2 à 1 , et ne descend pas en dessous de cette dernière limite.

Si la longueur du prisme est le triple du côté de la base, ou plutôt 4e V^Vqû peut prendre, d'après Dubual, ainsi que nous Tavons vu :

M=i,lO

et, pour une longueur égale à 6 fois l/S, ce coefficient se rapproche de Tunité Mais, si (a longueur augmente encore, M croit de nouveau; Ton conçoit en eflet que dès lors les résistances dues à la viscosité engendrent des frottements qui font plus que compenser Teflet favorable de la diminution dans la non-pression.

L'emploi de poupes et de proues diminue très-notablement la ré sistance, en agissant respectivement sur la non -pression et sur la pression vive.

En ajoutant a un corps prismatique, dont la longueur serait d'environ 5 à 6 fois la largeur, une poupe suffisamment aiguë, l'on diminue beaucoup la non-pression; l'action totale tend d'autant plus à se réduire à la pression vive que la poupe est plus aiguë et plus longue, et l'on obtient approximativement dans ce cas :

Si le prisme est garni, comme dans les bateaux et certaines piles de ponts, d'une proue destinée à fendre le liquide en amont, la résistance diminue selon la forme et la saillie de cette partie extrême. Ainsi, quand la proue est formée de deux plans verticaux se coupant sous un angle voisin de GO*", la pression vive est réduite de moitié; et, si le prisme possède en outre une proue aiguë telle que M" = 0, il en résulte :

L'on arrive au même résultai avec une poupe allongée el une proue composée d'un demi - cylindre vertical de même largeur que le prisme.

Quand la base de la proue est un triangle d'une saillie égale au double de la largeur du prisme, la pression vive se réduit aux 2/5 de ce qu'elle serait sans proue.

Si les deux côtés se composent d'arcs de cercle au lieu de lignes droites, la résistance devient moindre, à saillie égale, que dans les autres cas.

Lorsqu'une proue est formée par le prolongement des faces latérales du prisme coupées en dessous par un plan incliné de SO""- environ sous l'horizon, la pression vive n'est plus que le tiers de ce qu elle serait si le solide se terminait carrément.

Les vaisseaux sont généralement construits de façon que leur forme se rapproche de celle qui présente la moindre résistance à l'action de l'eau* Si l'on suppose une coupe horizontale moyenne correspondant au milieu de la partie de la carène qui est plongée, la longueur de la proue mesurée sur cette coupe doit être égale à 5 ou 6 fois sa largeur maxima; et cette dernière doit se trouver un peu en deçà du milieu de la longueur, à compter du saillant. D'après des expériences de Bossut, un prisme droit terminé carrément, dont la section avait la forme du maitre-couple ou section maxima d'un vaisseau et dont la longueur était de 5 à 6 fois la largeur, a donné M, ou M' + M", un peu supérieur à l'unité ; tandis que le même prisme terminé par une proue et une poupe, comme un vaisseau, et égale-

ment plongé, a présenté pour M environ — de la valeur précédente, ou

bien :

Il n'y a évidemment rien d'absolu dans les différentes valeurs du coefficient de la résistance ; elles peuvent même varier quelquefois par suite de circonstances secondaires dont il serait difficile de tenir compte. En général, quand il s'agit de calculer la résistance qu'éprouve un corps flottant, il faut prendre pour S la surface de la plus grande section transversale de la partie plongée, puis donner au coefficient M ou M' + M" la valeur qui soit le plus en rapport avec la forme des extré-

mités d'amoDl et d'aval en se guidant sur les différents cas que nous venons d'examiner.

Il faut remarquer que les résultats précédents ne peuvent être appliqués lorsque la largeur du canal ou du cours d'eau n'excède pas 5 à 6 fois celle du co: ns flottant ou plongé en mouvement.

D. PRESSION EXËRCËIr PAR LE CHOC CONTINU D UNE VEINE FLUIDE CONTRE UN PLAN FIXE OU MOBILE.

Supposons d'abord que le plan mn soit fixe et que la veine fluide vienne le frapper suivant une direction normale.AG(fig. 61). Désignons par :

R la réaction totale exercée normalement par le plan ;

U la vitesse du fluide ;

A son poids spécifique, et — sa densité;

*/ Q l'aire de la section transversale de la veine;

dM la quantité constante de fluide qui afflue pendant chaque instant dt.

Comme la quantité de mouvement de l'aciion, en l'unité de temps,

dM „

est — r— U, nous aurons ; al

dt

ou bien, en remplaçant dM par sa valeur — û Xidt :

Nous avons supposé ici que la masse fluide dM perdait instantanément toute sa vitesse normale ; mais cette hypothèse n'est pas confirmée par l'expérience. Comme la vitesse perdue U' ne saurait être cependant que proportionnelle à celle d'arrivée U, nous poserons :

N désignant un coefficient qui est toujours inférieur à l'unité, mais dont la valeur en est d'autant plus rapprochée que la planchette a des

dimensions plus considérables par rapport à Q. Ainsi, ce coeffident devant dépendre du rapport de l'aire de la planchette à celle de la section de la veine, il ne saurait y avoir d'assimilation entre N et le coefficient M de la résistance des fluides.

Si la veine vient choquer le plan suivant une direction oblique BA qui forme un angle a avec la normale AG, la composante normale de la vitesse, ou U sin. a est seule détruite d'une manière continue par la réaction de la planchette, et la formule devient :

R = N. -^ .û.U^cos. a

ou bien, lorsque le fluide est de Teau :

R = N.û. U*cos. a

Supposons maintenant que la planchette soit douée aussi dun mouvement de translation dans Tun ou l'autre sens ; admettons, par exemple, qu'elle se déplace, avec une vitesse u dont la direction DA fasse un angle p avec la normale. La vitesse détruite normalement sera U cos. a — u cos. (3, et l'effort exercé sera exprimé par :

D JM ^ ^^^' « — « cos. p

K = uai» '

dt

A R = — . û. U (U COS. a — M cos. 6) 9 ^

OU, plus généralement, si les dimensions de la planchette ne sont pas

grandes :

A R ^ N. — . û. U (U cos. a — tt cos. ô)

D^ns les calculs qui précèdent nous n'avons pas eu égard à la présence d'une force qui contribue à augmenter la pression sur la planchette, et dont l'action varie avec l'angle d'incidence et la section de la veine : nous voulons parler du poids du liquide.

Supposons qu'une veine d'un liquide quelconque, tombant dans j'air, vienne heurter d'une manière continue un plan fixe, mn, fig. 62. L'expérience prouve que, dans ces circonstances, la veine se gonfle depuis sa rencontre avec le plan jusqu'à une certaine section, AB par exemple, où l'action de l'obstacle cesse de se faire sentir ; en dessous de AB les filets s'infléchissent et les molécules liquides tendent à se mouvoir suivant des parallèles à mn.

Désignéat par P le poids de la partie ABEFDC du liquide qui réagit sur le plan, par y Taugle de ce deruier avec rhorizoD, et appliquant entre AB et le cylindre liquide CDFE le théorème général des quantités de mouvement projetées, nous obtiendrons :

A R = P C08. 7 + N. — . û. U» COS. a

Quant à la pression atmosphérique, comme elle s'exerce sur tout le contour du système liquide qui agit contre le pian, sa résultante et son impulsion sont nulles.

Pour le cas d'un plan vertical choqué horizontalement, Ton obtient }^ = 90« et a = ; par suite, la résistance R devient égale à la seule pression vive :

R = N.— au»

expression dans laquelle -- . û. U' représente le poids d*un cylindre

d'eau ayant pour base la section verticale ù de la veine et pour longueur le double de la hauteur due à la vitesse U ; Ton peut poser en effet :

— . û. U« « A . û. 2 gffc = 2 A. a. fc 9 9

Lorsque la veine fluide rencontre une surface concave, ou un plan muni de rebords suffisamment rapprochés pour rencontrer et relever les tilets de façon à les empêcher de devenir parallèles à ce plan, la résistance due à la pression vive et au poids P se trouve augmentée, d'après des expériences de M. Christian, de 1/6 à 1/5 de ce qu'elle aurait pour une surface plane.

Un'résultat contraire se produirait si le liquide rencontrait une surface convexe ou un plan trop peu étendu pour le dévier entièrement.

E. CALCUL THÉORIQUE DE LA RÉSISTANCE D'UN OBSTACLE FIXE AU MOUVEMENT RECTILIGNE ET UNIFORME D'UN FLUIDE INDÉFINI QUI LE RENCONTRE D'UNE MANIÈRE QUELCONQUE.

Nous avons établi au § B les formules empyriques trouvées par Dubuat pour ce qui concerne les prismes et les pressions normales. Il s'agit maintenant de rechercher par l'analyse la résultante des près-

la

sions lorsque TobsUcle est quelconque» el, que le courant liquide ou gazeux dans lequel il est plongé le frappe obliquement.

La pression supportée par Tun des éléments du solide fiïe peut toujours être considérée comme composée de la pression hydrostatique et de celle qui est due à la vitesse relative du fluide. Comme la résultante des pressions hydrostatiques élémentaires est connue d*avance, et qu'il est par suite facile d'en tenir compte, il reste seulement à calculer ici la résultante des pressions produites par la vitesse. Dans ce but, nous ferons usage d'une hypothèse généralement admise par laquelle chaque filet fluide est censé aller isolément rencontrer un élément correspondant de la surface du solide, en y exerçant une pression analogue à celle du § D. Dès lors la partie de cette pression due spécialement à la vitesse sera proportionnelle : l"" à la section transversale du filet; ^ au carré de sa vitesse relative; S"" au cosinus de Tangle a que cette vitesse fait avec la normale à l'élément de surface.

Pour le cas général où le corps a une forme quelconque, l'angle a varie naturellement d'un élément à un autre ; la qqestion ne saurait donc être résolue que d'une manière approximative, en rapportant le mieux possible le corps en question à un solide géométrique; les calculs deviennent alors assez simples : supposons, par exemple, les trois cas suivants.

!• Surface plane. (Fig. 6S.)

Soit S Taire de cette surface mn ; U la vitesse du courant dans lequel elle est plongée et a l'angle de celte vitesse avec la normale. Do filet de section u produira une pression ncd U'cbs. a, expression dans laquelle n est une constante; la résultante sera la somme de quantités analogues pour tous les filets qui rencontrent Taire mn^ et comme n, U et a ne varient pas de l'un à Tautre, celte somme sera le produit de n U* COS. a par Taire de la section droite An; de là :

R =rr nU* COS. a X S COS. a

R = nU*S cos.'a ou bien :

R = nU»S sin.n*

La pression totale due à la vitesse varierait donc comme le carré du sinus de Tangle formé par le plan et la direction du courant.

2* Cylindre à section circulaire.

Soit : R le rayon et L la longueur du cylindre. Si Ton désigne par 7 Tangle que fait un plan diamétral quelconque avec le plan diamétral perpendiculaire au courant, la pression exercée sur une bande élémentaire de surface Kdy et de longueur L aura pour valeur nLKd y. U* sin.' 7, et pourra se décomposer en deux autres forces : tiLRU' sio. >7 dy et nLRU' sin.^ cos. ydy

La somme de ces dernières composantes s'exprimera par :

fir iiLRU*! 8in.^C08.7d7

quantité identiquement nulle, les composantes élémentaires se détruisant deux à deux. La somme des premières^ sur le pourtour du demicylindre, ou 180'', rencontré par le courant, aura pour vpleur :

nLRO» \ sin.Vv = »LRO« ( \ sin. ydy — \ sîn. y cos.» ydyj

ou bien

iiLBU» /«-.|)«:-inLRU»

Ainsi la pression totale exercée par le courant se réduit à une

force -=- nLRU* dirigée dans le sens de la vitesse U. o

Si, au lieu de la surface cylindrique, l'on opposait au choc du fluide le plan diamétral, de surface RL, perpendiculaire à la vitesse, la pression serait plus forte de moitié, c'est-à-dire égale à :

4 nLRU» + J nLRU« « «. 2 LR- U*

3^ Solide sphérique.

En agissant comme dans le cas précédent. Ton trouve pour valeur de la pression totale :

Si l'on exposait à l'action du fluide le plan diamétral , de surface irR*, perpendiculaire à la vitesse U, Ton obtiendrait :