Q - AV

où V représente le volume du tronc; d'autre part, la pression P exercée sur le fond par le même liquide est :

p == Ao/i = aV

où V représente le volume du cylindre mmd. Or, comme V est plus grand que V, le poids Q du liquide exerce sur le fond une pression résultant uniquement de son poids et cependant supérieure à ce dernier! Le phénomène est cependant facile à constater par expérience, lin tonneau étant rempli d'eau entièrement, on adapte et on lute à la bonde un tube cylindrique de quelques centimètres de diamètre, dans lequel on verse ensuite de l'eau. Lorsque le niveau supérieur du liquide dans ce tube a atteint quelques mètres, le tonneau crève, absolumenl comme s'il était surmonté d'un cylindre d'un diamètre égal au sien.

PreMilon d'un v««e Mur «on support.

Cette pression est égale, dans tous les eas, au poids de la matière solide qui compose le vase augmenté de celui du liquide qu'il contient.

/*. KéMnltenle des preMil«n« «nr le vn«e.

I^a masse liquide étant en équilibre dans le vase» il faut en conclure qu elle éprouve de la part de ce dernier une résistance totale égale et contraire à son poids; or, cette résistance est directement développée par les pressions que le liquide exerce sur les parois ; la résultante de ces pressions a donc la même valeur et la même direction que le poids de la masse liquide.

Nous allons démontrer ci-après cette dernière conclusion , comme une conséquence nécessaire des lois énoncées plus haut sur les pre:»sionsdes liquides pesants; ce qui viendra encore corroborer la vérité de ces lois.

g. PreMiien mmr les pnrelii.

Démontrons d'abord que la pression exercée par le poids du liquide en équilibre sur un élément quelconque 6^ d'une paroi plane du vase est égale au poids d'une colonne liquide qui aurait cet élément superficiel 0) pour base, et pour hauteur la distance h de son centre de gravité au niveau supérieur du liquide dans le vase.

Soit donc (ù un élément de la paroi inclinée, assez petit pour être considéré comme plan quoiqu'il puisse appartenir à une surfiice courbe; soit aussi h la distance verticale qui sépare un de ses points de la surface plane supérieure du liquide; cette distance est supposée la même pour tous ces points, la surface co étant infiniment petite.

La pression P que l'élément considéré éprouvera de dedans en dehors aura pour valeur :

p = g^uh

Représentons par a, (5, y, les angles que la direction de cette pression, ou la normale à la (taroi à l'endroit de l'élément G», fait avec trois

axes reelaugulaires, dont l'un Z est dirigé dans le seus de la gravite et les deux autres sont pris dans le plau horizoulal supérieur ou la surface libre. La pression p peut être remplacée par trois composantes parallèles aux axes des coordonnées, dont les valeurs sont :

gâbih cas; ol ' '

g^tah C09, ^

0ftih COS. 7

et si Ion désigne par a, 6, c, les projections de Télémenl (ù sur les plans coordonnés des ys, des zx et ées xy, avec lesquels son plan prolongé formerait des angles dièdres égaux à a, (3 et 7, Ton aura, d'après un théorème relatiC aux projections des aires planes :

a = w cos, OL

b = ffi CQS. p

c =^ M cos, 7 Il en résulte que les trois composantes de la pression exercée sur rélémenl w deviennent :

gâah

gâch

Si Ton conçoit que pareille décomposition soit faile pour les pressions exercées sur toutes les parties du vase en contact avec le liquide, l'on aura à considérer trois groupés de forces respectivement parallèles aux trois axes et qui sollicitent Tenveloppe solide.

Or la résultante des forces parallèles à Taxe X est nulle; il en est de même pour la résultante du groupe de forces horizontales parallèles à Y (fig. 2).

En tîflet, si nous considérons le cylindre horizontal qui, projette

I élément m sur le plan des zy, nous voyons qu'il découpe sur la paroi opposée du vase un autre élément co', de même profondeur h en dessous de la surface libre du liquide, et de même projection A que &).

II s ensuit que la composante, parallèle à X, de la pression exercée sur u' a aussi pour valeur gêak; mais, comme elle est dirigée en sens contraire de la composante semblable venant de u, ces deux forces s'entre-détruisent. Appliquant ce résultat à tous leâ éléments des parois du vase, Ion en conclut que la sommation de la résultante du groupe considéré se (i*ouve composée d'un nombre pair de termes,

— ts —

égaux deux à^eux et de signe contraire; que cette somme ou résultante est donc nulle.

Pareil raisonnement s'applique au groupe en Y .

Le groupe en Z des forces verticales subsiste donc seul ; sa résultante sera par conséquent celle des pressions que le liquide exerce sur les parois de lenveloppe. Pour la déterminer, considérons le cylindre vertical qui projette Télément u sur le pian tnn de la surface du liquide; ce cylindre découpe, sur la partie supérieure de la paroi, un autre éléments" situé à une profondeur k' ; la composante verticale de la pression exercée sur w" a pour valeur g$ch' ; et, comme elle est dirigée en sens contraire de la composante gSch correspondant à M, ces deux forces réunies donnent^ dans lexpression de la résultante totale un terme de la forme g de (A — h'). Or, ce ternie doit être regardé comme égal au poids de la colonne liquide comprise dans le cylindre vertical dont (ù et u'' seraient les bases; il suit delà que h résultante cherchée, qui doit contenir autant de termes semblab^ies à g$c (h — h') que Ton peut imaginer de cylindres verticaux analogues au précédent dans Tintérieur du vase, est égale au poids total de la masse liquide et qu'elle est dirigée dans le sens de la |)esunteur.

Une partie des cylindres liquides aboutissant a la surface libre donneraient des termes de la forme gSch, h h' étant nul; ce (|ui ne changerait rien aux raisonnements ni aux résultats obtenus.

Les principes e et / sont une conséquence logique de la démonstration précédente.

L'expérience vérifie parfaitement les lois que nous venons de développer. En effet, si les composantes horizontales doivent s entredétruire miituellement, il faut conclure qu'en pratiquant sur une paroi une ouverture » par laquelle le liquide puisse s'échapper, la pression horizontale uX en ca n'existera plus et ne fera donc plus équilibre à la même force u'X, due aussi à la pression du liquide; cette composante u'X tendra, par suite, à pousser le système entier dans le sens uo^'. C'est ce qu'on vérifie par l'appareil appelé roue à réaction.

Ce dernier principe explique aussi le mouvement des fusées de guerre.

Clierchons uiaiulenant quelle est la pression exercée par un liquide

sur une étendue (iuie et déterminée d'une paroi plane^ verticale ou inclinée.

Supposons deux parties EnpF et EstF (fig. 3) dune paroi plane rectangulaire; P' et P'' les pressions totales qu'elles supportent sous Taction du liquide dont le niveau est en GDEF; soit sE = h"H nE = h'; soit aussi np=^st = b.

La pression p sur une bande élémentaire n'p' est, comme nous Tavons vu : •

iNous aurons en intégrant :

^^-^g^b. *'« == gm^ X Y (r)

De même pour l'p ou P" :

D'où Ton tire ;

Concluons : l"" la pression sur une portion de paroi plane est égale au poids de la colonne liquide qui aurait cette portion pour base, et pour hauteur la distance desop centre de gravité au niveau du liquide.

Ce résultat est donné par la relation (r) ou (s).

^ Les pressions sur des portions d'une même paroi sont entre elles comme les carrés des hauteurs respectives du niveau au-<iessus de Ihorizontaie inférieure dans chaque portion considérée.

Cette loi ressort de Téquation (/).

Si'Ma paroi était inclinée, comme en AF' (fig: 4), les mêmes conclusions subsisteraient.

En effet, supposons encore une bande élémentaire mn, de largeur 6 et de hauteur c/Z, ce Z étant égal à aF' pour Télément mn.

Si nous remarquons que aF = = nous pourrons poser :

COSOL COSOL ' '

p = g^b Xdl X h = 9^bX (il X Z coiv.

— ?:> — D'où :

rAF'ouH al ZdZ=-i-^

P = g^b COS. a I Zdl ^-^g^b cos, a X H«

De même Ton anraif :

los A' et A" étant les projections sur AF des hauteurs H' et H" de AF'. Ces résultats, du reste, ont été démontrés en g, les éléments (ù et on' ayant été censés quelconques et inégaux.

h. Prlnelpe d'Arelilaiètfe. €*r|Ni plongea.

Lorsqu'on plonge un corps dans un liquide pesant, il éprouve sur s:) surface des pressions que Ton pourrait évaluer analytiquement, ainsi que nous Tavons fait dans le théorème g; en effet, il n'y a que des différences de signe entre ces pressions et celles qui s'exercent sur les parois mêmes du vase. L'on trouverait encore que toutes les composantes horizontales des pressions exercées sur le corps s'entredétruisent; que, par suite, la somme des composantes verticales a pour valeur le poids d'un volume de liquide égal à celui d!u corps plongé, et que la direction de cette résultante s'exerce de bas en haut.

Concluons que : tin corps plongé perd de son poids le ,poids du vohwe d'eau qu'il dépince,

k. C!eBtre de presalM d'me «nrtoee plane.

Le centre de pression d'une paroi ou d'une surface plane est le point d'application de la résultante des pressions exercées par le liquide sur cette paroi ou cette surface plane.

Le centre de pression d'une surface est toujours plus bas que son centre de figure ou de gravité. Gela se conçoit, les pressions allant en

croissant du haut vers le bas proportionnellement aux carrés des bpuleurs. Ces centres ne coïncident que pour le cas d'une paroi horizontale.

Pour déterminer la position du centre de pression, il faut chercher la pression totale Ip sur la paroi; comme celle-ci est plane, toutes les pressions différentielles p sont parallèles entre elles; j>ar suite, il suffit d'égaler le moment de la résultante Ip à la somme des moments des composantes, par rapport au plan horizontal supérieur qui contient le niveau du liquide ; Ton en tii^ra la distance du centre de pression à ce plan.

Pour un parallélogramme ou un rectangle dont le côté supérieur

est à fleur d'eau, le centre de pression se trouve aux -— de la base

supérieure, sur la ligne qui joint les milieux des deux bases horizontales.

Supposons, en efi*et, une paroi rectangulaire ABCD (Kg. 5) pour laquelle BC représente le niveau du liquide, et telle que BA = H et AD = 6. Nous avons trouvé en g :

P=bdhXhX9^

\ hdh^L

Zp = g^b \ hdh -=y5f^^H«

soit x^ le bras de 2p, c'est-à-dire la distance verticale du centre de prei^sion, par rapport au plan horizontal BC ; nous aurons :

X X, =gSh I h

Y gSVa* Xxt=gSb \ ferffc X fc = -^ g^bW

D'où :

Dans le triangle dont la base coïncide avec BC, le centre de pression se trouve au milieu de la ligne qui joint le milieu de la bsise au sommet du triangle.

Si le sommet est en haut, c'est aux trois quarts de celte dernière ligne.

/. ifc^iiltllire de* etppm U^Ut

Quelques auteurs désignent aussi sous le nom de centre de pression le centre de gravité du volume de fluide déplacé par un corps, plongé on flottant, et non homogène. C'est, en effet, par ce point que passe la résultante des pressions exercées, du has vers le haut, p»r le fluide.

Il y a deux conditions d'équilibre instable pour les corps flottants, comme pour ceux qui sont plongés : 1"* Le poids du corps doit être égal au poids du fluide déplacé; ^'^ Le centre de gravité du corps et celui du fluide déplacé doivent se trouver sur une même verticale.

Pour obtenir un équilibre stable, il faut une troisième condition, qui est la suivante, pour les corps plongés : S** Le centre de gravité du corps plongé doit être en dessous de celui du fluide déplacé, c'est-àdire, du centre de pression, et sur la même verticale.

Cette troisième condition détermine bien aussi la stabilité d'équilibre pour les corps flottants; seulement, elle n'est pas absolument nécessaire.

En effet, considérons un ellipsoïde de révolution, ou tout autre corps de forme convexe, tel, que deux plans, rectangulaires entre eux et passant par le centre de gravité du solide, le coupent chacun en deux parties symétriques. Si l'axe d'intersection de ces deux plans est vertical, il contient à la fois le centre de gravité et le centre de pression, et le corps flotte en équilibre. Mais, pour que cet équilibre soît stMe, il faut, et il suffit que. Tune des sections restant verticale et l'autre s'incliuant un peu, la ligne verticale passant par le centre de pression déplacé vienne rencontrer l'axe, maintenant incliné, en un point situé au-dessus du centre de gravité qu'il contient toujours; en effet, cet axe se trouve alors soumis a l'action d'un couple qui tend à le ramener dans son ancienne position. Or, cette condition de stabilité peut être remplie, lors même que le centre de pression serait en dessous du centre de gravité.

Pour exprimer cette condition autrement, nous pouvons dire avec quelques auteurs, qu'il suffit que le centre de gravité du corps flottant soit eu dessous du métaeentre. point situé à la rencontre de la ligne

passant par les deux cenlies de gravilé dans la position d équilibre, avec la verticale menée parle centre de gravité du nouveau volume de fluide déplacé lorsque Ton vient à écarter un peu le solide de sa première position d'équilibre.