C. HYDRODYNAMIQUE

L'hydrodynamique, ou science du mouvement des fluides, repose spécialement sur Tappréciation exacte des résistances provenant de la viscosité y c'est-à-dire V adhérence et la cohésion. Si ces résistances étaient bien connues, les principes de mécanique et les procédés ordinaires de l'analyse sufliraient pour résoudre complètement tous les problèmes de l'hydrodynamique. Malheureusement, l'élat de la science et l'incertitude des données d'expériences dont on dispose, ne permettent pas de regarder le grand problème général de la viscosité comme résolu d'une manière tout-à-fait rigoureuse.

Dans les raisonnements qui vont suivre, ainsi que dans l'exposé des propriétés des liquides, nous admettrons provisoirement que ceux-ci sont doués d'une fluidité parfaite.

a'. PreiMil^n deii fliiMe«i em ■■■•■veiiient.

Lorsqu'un fluide est en mouvement, il n'en exerce pas moins une certaine pression contre les* parois du vase ou réservoir qui le contient. Si l'on désigne par p la pression ou la force que supporte un

élément superficiel dont l'aire est u, le rapport -^ sera la pression par

unité de surface, en un point de la paroi, ou sur l'élément de paroi (a, qui est quelconque. Mais, par suite de l'adhérence produite par la viscosité^ cette pression ne sera pas normale.

Si Ton considère ensuite un point intérieur m de la masse fluide, et si l'on imagine que le volume de ce point soit limité par une surface quelconque de dimensions infiniment petites, il arrivera que chaque

~ f 9 — éiéiiietit Aiperficiel de la petite surface pré<*itée subira, par unitc;, la même pression — Ce fait résulte du principe fondamental deVégnlité de pression, Tinfluence de la viscosité étant négligée.

b'. ■■•nvement penn»nen« et ■«•Hireiiieiit varié.

L'on désigne sous le nom de mouvemeni permanent d'un fluide celui dans lequel la vitesse en chaque point reste constante, en grandeur et en direction, pendant le temps où Ton considère le fluide.

Le mmivement varié est celui où la vitesse du fluide change à tout instant, de grandeur el de direction, pour chacun de ses points.

Le mouvement permanent a lieu dans presque tous les cas de la pratique; ce sont les phénomènes et les lois de ce mouvement que nous allons rechercher. Les problèmes du mouvement varié rentrent spécialement dans le domaine de la mécanique rationnelle. t

e'. Pamlléllsne deii Imneliefi.

Lliypothèse du parallélisme des tranches consiste à admettre que, lorsqu'un fluide renfermé dans un vase en sort par un orifice horizon lai, placé au fond ou vers la partie inférieure d'une des parois latérales, ce fluide du réservoir peut être considéré comme composé de tranches horizontales infiniment minces qiii descendent en demeurant parallèles dans leurs positions successives. Ceci revient à regarder ( haque tranche comme composée constamment des mêmes molécules fluides, et à leur supposer une vitesse verticale commune.

Cette hypothèse se rapproche beaucoup de l'observation, pour cerhiins problèmes de l'écoulement des fluides; par exemple, pour les cas d'orifices d'écoulement Irès-petUs pratiqués dans une paroi.

Mais elle entraine encore, dans quelques circonstances, la nécessité d admettre que la pression, dans le sens du mouvement, est la même pour tous les éléments superficiels d'une même tranche.

Prenons pour exemple particulier le cas de l'écoulement d'un liquide par un orifice placé au fond du vase qui le contient (fig. 6). Si l'on suppose le vase transparent et que Ton rende apparent le mouve-

ment des molécules du fluide en y tnéianl un corps pulvétiiteiil, de densité à peu près ^gale, ou mieuj^, en y produisant de légers précipités chimiques^ Ton voit, à Tintérieur et non. loiii de Torifu^, une convergence notablQ des fdets fluides qui se dirigenl vers la sortie, eb décrivant des lignes plus ou moins courbes, et qui s'y précipitent d'un mouvement très-aceéléré eomme sur un centre d'attraetion. Par suite de cette accélération de vitesse, la*seclion de la veine se rétrécit depuis Tofifice jusqu'à une petite distance en dehors du réservoir. La veine forme ainsi un tronc de cône ou de pyramide renversé, dont la petite section mnse trouve à Tendroit de la plus grande contraction, et que Ton nomme, par suite, section contractée.

Après le passage de cette dernière, les points matériels liquides décrivent à peu près les mêmes courbes inverses jusqu'à ce que par reflfet de leur action réciproque et des mouvements imprimés, elles prennent une direction parallèle ou d'autres directions; dans le premier cas la convergence cesse, et le mouvement se fait à très-pe^i près par filets parallèles, et, comme la vitesse, en vertu de l'adhérence mutuelle des molécules, lend à devenir la même dans l'étendue de la section normale au filet moyen, l'on est conduit à admettre que le mouvement se fait par tranches vers les sections a çib.

Un cas particulier se présente dans les orifices circulaires; au delà de la section contractée mn (fiff. 6-2^), la veine forme non pas un tronc de cône renversé, mais un cylindre dont la section mn serait la base; récoulement a lieu comme si, à l'orifice réel, Ton en eut substitué un autre de diafnètre mn, et qu'il n'y eut pas eu de contraction. L'hypothèse du parallélisme des tranches peut alors être admise, et les molécules arrivées en mn ont des vitesses-seiisiblement parallèles et normales au plan de ladite section.

Mais il n'est pas permis de poser l'hypothèse précitée entre les limites a et b, lorsque la convergence et la divergence des filets fluides s'étendenjt jusqu^à une certaine distance en dedans et en dehors du vase.

Pour les cas de parois minces, la divergence est simplement extérieure.

fl'. rmmiîmmUé «en ««Mes.

fl est lin autre principe qui semble conforme à robservalion, dans (es cas ordinaires de la pratique, et qui consiste à admettre que les molécules des fluides restent eontîguës les unes aux autres, de façon à former toujours; un ensemble sans lacune, sans interruption. Ce principe est celui de la continuité des fluides; il est exact pour les liquides proprement dits et pour des gaz soumis h des variations de^ pression peu sensibles.

Il résulte de ce principe et de celui de Tincompressibilité, ainsi que de b permanence du mouvement, que, dans un temps donné, il passera par toutes les sections d*un vase le mênrie volume de fluide.

Par suite, si le vase n'est pas d'une section uniforme, les vitesses des différentes sections, ou des tranchées seront en raison inverse des «surfaces de ces tranches. Notons, en effet, que dans le mouvement permanent, la vitesse Kesl mesurée par Tespace A parcouru, donc, par les hauteurs des troncs partiels de cône ou de pyramide liquides ; ainsi, par exemple, le volume d'un tronc ou d'une tranche de hauteur dh étant hdh, ou bdV, pour avoir, en un lieu quelconque

WV = constante = b'dV = b"dS" etc.

il fiuit que Ton ait :

ft: 6'=rfV': dv = p'; p8=v' : V

Ainsi, pour un vase qui s'élargirait de la base vers le haut (fig. 7), et dont le niveau resterait constant, les vitesses d'une tranche vont en rroissant a mesure que cette tranche se rapproche de Torifice.

Nous pouvons conclure de là que, dans un vase à sections horizontales égales, la pression, en un point quelconque de la masse liquide qui y est contenue, doit être la même que si ce liquide était en repos, e est-à-dire qu'elle varie suivant la loi hydrostatique (voir b). En effet, la vitesse relative de deux éléments superposés d'un même filet fluide étant nulle, ces éléments doivent se comporter comme dans l'état d'équilibre. Nous poserons donc :

Première règle. — Lorsque, dans un fluide parfait, chaque molécule possède un mouvement rectiligne et uniforme, la pression varie d'un point à l'autre suivant la loi hydrostatique.

Lorsque le vase est à seclions horizonlales décroissanl uniforinrmenl du haut vers le bas, la vitesse va en augmentant, par des accroissements infiniment petits, d'une tranche a celle qui lui est immédiatement inférieure ; cette dernière tend donc à se soustraire à raction de la précédente avec Ténergie due à Taccélération différentielle, et la rapidité de cette tendance sera évidemment d'autant plus importante ou plus négligeable que le mouvement du liquide dans le réservoir sera plus accéléré«ou plus ralenti. Ainsi, dans ce cas, la pression supportée par un point quelconque de la masse fluide ou des parois sera moindre dans Tétat de mouvement qu'à celui du repos.

L'inverse a évidemment lieu dans le mouvement d'un fluide quand le vase a la forme d'un tronc droit de cône ou de pyramide.

Nous pouvons déduire de ce qui précède :

Deuxième règle, — Lorsqy'un fluide parfait est animé de mouvements quelconques, mais très-lents, l'on peut admettre encore que la pression varie suivant la loi hydrostatique.

Cette lenteur est, en effet, une preuve que les forces sont très-près de satisfaire aux équations d'équilibre ; l'évaluation de la pression, par la règle précédente, sera donc une approximation d'autant plus rigoureuse que le mouvement sera plus lent.

Avant d'évaluer la grandeur des diverses pressions dans les fluides en mouvement, nous croyons devoir poser encore les deux règles suivantes :

Troisième règle. — Lorsque les molécules d'un fluide parfait ont des mouvements identiques à ceux qu'elles prendraient sous la seule action des forces extérieures, la pression, dans toute l'étendue du liquide, est constante d'une façon absolue si le mouvement est permanent; elle est constante, à un instant déterminé, dans toute la masse, si le mouvement varie avec le temps.

Cetle règle peut s'appliquer, avec une grande approximation,, au cas d'un liquide pesant homogène, qui s'écoulerait d'un vase, entretenu à niveau constant, par un orifice latéral dé dimensions médiocres par rapport à celles du vase, ce liquidé obéissant aux lois de la pesanteur. L'on observe alors un jet, dont la forme parabolique ne diffère pas sensiblement (dans une certaine étendue) de la Ircijectoire que suivrait une molécule isolée.

Quatrième règle. — Lorsqu'il existe daus^uu fluide nalurel en mouvement une section S rencontrée normalement par toutes les trajectoires, et que celles-ci sont sensiblement reclifignes aux environs du plan dont il s'agit, la pression varie suivant la loi hydrostatique, pour un déplacement de direction quelconque, tracé dans la section S.

Nous reviendrons, du reste, sur ces dernières règles.

e'. R«cherelic de la preMiUn d«nii le« li^uMe» en «•■vement.

La recherche analytique des lois qui régissent les pressions et Técoulement des fluides s'appuie essentiellement sur deux grands principes de mécanique rationnelle : le principe des forces vives et celui de d'Alembert.

II. ne nous parait pas hors d'un sujet aussi important d'entrer dans quelques développements sur les principes qui conduisent à la solution de tous les problèmes de dynamique. Rappelons, à cet effet, certaines notions élémentaires, afin d'établir d'une manière claire et précise l'expression et la portée des principes en question.

^'' Mesure des forces motrices.

Si Ton désigne par P le poids d'un corps, par V son volume, par M sa masse, l'on a les identités :

M = (?V P =- M^ = âg\ = AV

où A est la pesanteur spécifique ou le poids du mètre cube du corps considéré; g est l'accélération due à la pesanteur, ou 9, 8098.

Soit F une force dinlensité constante ; dv la vitesse qu'elle imprime en un temps dt et v celle qu'elle imprime pendant le temps /; la vitesse produite par la force F sur une masse M en Vunité de temps

tin

est —j-^ et la quantité du mouvement qu'elle imprime, pendant cette ai

dv unité de temps, est représentée par M -j-.

Comme une force constante se mesure par la quantité de mouvement qu'elle imprime en Tunité de temps, et que les quantités de mouvement engendrées pendant des intervalles queicouques, comptés dès

loriginc du mouvemciU, sont proportioaneiles à ces intervalles, il en fésulfc qu>n désignant par Mv \ù quantité de mouvement produite par F pendant le temps /, I on pourra poser :

t dt

dv étant désigné sous le nom d'accélération instantanée, engendrée pendant la durée dt, infiniment petite.

Une force F' variablede grandeur et de direction peutétre considérée comme constante quant à sa valeur numérique et aux quantités qui en fixent la direction, mais seulement pendant un instant élémentaire quelconque dt de son action. Si donc cette force F' imprime une quantité de mouvement infiniment petite Mdv' pendant Finstant dt qui succède à un temps quelconque de son action, nou3 aurons hi mesure ou l'expression de sa valeur par Fidenlité :

dv . *

L'on peut donc tirer la conclusion suivante : une force motrice quelconque, constante ou variable, se mesure, à un moment quelconque de son action sur un corps, par le rapport de la quantité de mouvement qu'elle lui imprime, pendant cet instant, à la durée actuelle et infiniment petite de son action.

Ce résultat s'applique aussi bien aux forces passives ou relatives qu'aux forces actives (d'après Poncelet) ou absolues (d'après Euler). L'on peut donc conclure en particulier, poui- la force dlnertie, que : dans le mouvement varié d'une manière quelconque sous l'action d'une force motrice F, la force d'inertie, ou la réaction de l'inertie, est constamment égale et contraire à l'action de F, et doit, par suite, se me-

dv surer comme celle-ci par M-^.

Celle dernière conclusion n'est rien autre que l'expression du principe fondamental de l'égalité entre Vaction et la réaction.

S** Principe de vitesses virtuelles.

C'est le plus général des trois principes au moyen desquels Ton est successivement arrivé à résoudre les problèmes de la stafiquê.

Comme I on peut ramener tontes les questions de la dynamiques des considérations d*équilibre, c*est-à-dire à la statique, rutîlité du principe précité est sans limites. L*on peut dire que tous les principes géuél'aux que Ton découvrira peut-être encore, dans cette dernière science, ne seront que des expressions différentes pour la forme, mais identiques au fond, avec le principe des vitesses virtuelles.

Lagrange a exposé dans toute son étendue, et démontré à priori, la formule qui est la conséquence de ce principe généralisé, et qui renferme tous les problèmes de Téquilibre. Combinant aussi le prmcipe des vitesses virtuelles avec celui de d'Alembeti, il a réduit toute la dynamique à une formule générale, de laquelle il a déduit les principes des forces vives, des aires ou de la conservation des moments de rotation, de la moindre action ou du repos, de la conservation du mouvement du centre de gravité, etc.

L'on entend par vitesse virluetle 4,'elle qu'un corps eu équilibre prendrait, pendant le premier instant dl, du mouvement qui succéderait à cet état d'équilibre censé subitement rompu.

L'énoncé le plus simple et le plus particulier du principe des vitesses virtuelles, peut s'énoncer comme suit :

Lorsqu'un corps est sollicité par différentes forces F, F', F"..., etc., il y aura équilibre entre F, F', F"..., etc., quand elles seront en raison inverse de leurs vitesses virtuelles, estimées suivant les directions de ces forces.

Cet aperçu particulier du principe des vitesses virtuelles remonte à lo77; Guido Ubaldi le reconnut dans le levier et dans les poulies mobiles; Ton voit, en effet, directement dans ces machines que, pour les états d'équilibre, la puissance et la résistance sont toujours en raison inverse des espaces parcourus par les points d'application, dans le même temps. Galilée, en 1634 (mécaniques), Wallis, en 1669 (mécanique), appliquèrent cette loi au plan incliné, puis aux principales machines. Elle fut ensuite présentée sous d'autres aspects par Descartes et Toricelli.

En 1717, Jean Bernouilli généralisa le principe et l'employa dans la résolution de tous les problèmes de la statique.

C'est aussi la loi des vitesses virtuelles qui produisit le principe de la moindre action, présenté par MaupertuiSy en 1740, sous le nom

de loi du repos, ei qui, au point de vue de la uiélaphyijique des causes finales, est Texpression symbolique de rharmonie universelle, c est-àdire de la Providence divine. Attaqué par Lngrange et défendu par Euler, le principe de Maupertuis a été viclorieusenient démontré, de nos jours, par Tillustre géomètre /aoobt de Kœnigsberg.

La généralisation du principe des vitesses virtuelles par Jean Bernouilli, conduit à Ténoncé suivant :

Si un système quelconque de corps ou de points matériels, sollicités chacun par un nombre quelconque de forces F, F', F''..., etc., est en équilibre, et si Ton imprime alors à ce système un petit mouvement quelconque, en vertu duquel chaque point décrive un chemin infiniment petit qui exprimera sa vitesse virtuelle, la somme des puissances multipliées, chacune, par le chemin que parcourt son point d'application, suivant sa direction, est toujours égale à séro, en regardant comme positifs les espaces infiniment petits parcourus dans le sens de ces puissances, et comme négatifs ceux qui sont décrits en sens opposés.

Ce sont les conséquences de ce principe ainsi étendu qui ont été développées par Lagrange dans sa formule générale.

3" Principe des forces vives, ou de la cotiservation des forces, ou principe dea quantités d'action finies.

Supposons qu un corps de masse m soit sollicité par un certain nombre de forces quelconques F, F', F"..., etc., dont la résultante soit représentée par R.

Si Ton considère Taclion de R pendant un instant quelconque^ nuiis infiniment petit, dt, qui succède au temps t du mouvemenl, varié ou permanent, Ton peut poser, ainsi qu'il a été dit :

dt de == vdt

Rde = m. — -— • vdt == mvdv dt

OÙ dv est Taçcélération instantanée produite par R, et de le chemin parcouru dans le sens de celle résultante ou h\ vitesse virtuelle du corps.

UeprésenUml par dp, dq.,., etc., les projections du chemin élémenlaire de sur les directions de F, F% F''..., l'on aura aussi :

Frfp-f- F'dflf+ etc. = Rrfe = m»(l» (m)

et par suite :

iFdp + lF'dq + etc. =lRdc= -j

ce qui signifie :

l"" (Équation m). La somme des quantités d'acliou instantanées de plusieurs forces accélératrices est égale à l'accroissement de force vive symbolique correspondant.

2® (Équation n). La quantité d'action finie fournie par plusieurs forces accélératrices, en un temps donné (pour vaincre Tinertie de la matière et accélérer le mouvement), est égale à la moitié du produit de là masse du corps sollicité par le carré de la vitesse totale imprimée pendant ce temps, ou bien, à la moitié de la force vive gagnée.

L'on a supposé plus haut que les quantités d'action étaient comptées à partir de Tinstant où le corps commençait à se mouvoir, c'est-àdire dès l'origine du mouvement. Mais si Ton suppose que le corps avait déjà une vitesse v\ il faudrait intégrer entre les limites v' et v" au lieu de o eiv; de là l'équation :

I Fdp + I rdq

+ etc. = --- m{tt"«-— v'»)

Cette loi des forces vives s'applique aussi au cas des mobiles qui, au lieu de pouvoir céder librement à l'action simultanée des forces sollicitantes, sont assujettis à un point fixe, à une ligne, à un canal matériel, d'où ils ne puissent s'échapper. Eï\§ est donc vraie pour le mouvement de rotation. Ai^i, doit-elle son origine à la recherche de ce fameux problème du centre d'oscillation, c'est-à-dire d^un point pris sur un pendule composé, et tel que sa distance à l'axe de suspension soit ta longueur du pendule simple correspondant.

Huygens, le premier, a déterminé ce point en se fondant sur ce principe que : si plusieurs poids, attachés indifféremmait à un pendule, descendent par la seule action de la pesanteur, et si, à un mo-

inent quelconque, ils soot détachés et séparés loui a coup les uns des autres, chacun d'eux, en verlu de la vitesse acquise pendant sa chute, remontera à une hauteur telle que le centre de gravité général se trouvera relevé à la même hauteur que celle de laquelle il est descendu. Autrement dit : la somme des produits des masses par les carrés des vitesses est la même, à un instant quelconque, soit que les masses se meuvent conjointement, soit qu elles parcourent librement les mêmes hauteurs verticales ; de là le nom de principe de la conservaiion des forces vives.

Ce principe, tel que Huygens Tavait trouvé et appliqué, fut longtemps employé seul pour la solution des problèmes de dynamique. Mais, comme il ne donne qu'une équation. Ton cherchait à établir les autres relations nécessaires, par certaines hypothèses plus ou moins exactes, sur la valeur et Faction de i'orces inconnues avec lesquelles Ion concevait que les corps devaient se pousser ou se tirer; de là des solutions souvent très-difficiles et parfois peu rigoureuses.

Adoptant le système de Descartes, qui proposa le premier de mesurer les forces par leur quantité de mouvement mv, Jacques Beraouilli donna, en 1691 d'abord, puis, beaucoup plus complètement en 1703, la solution du problème du centre d'oscillation ; il était parti de ringénieuse idée suivante.

Dans un corps soumis au mouvement varié, le produit mdv de la masse par Taccélération exprime ou mesure la force motrice nécessaire pour imprimer la vitesse élémentaire que le corps a prise ou qu'il tend à prendre. Des forces motrices ou des quantités de mouvement se détruiront ou se feront équilibre si elles sont égales et directement opposées, ou bien si, étant appliquées à un système quelconque matériel en équilibre, elles suivent les lois de l'équilibre de ce système. ^

Par suite, si Ion considère les mouvements que la pesanteur imprime à tout instant aux molécules d'un pendule composé, comme ces molécules, en verlu de leur liaison ou cohésion, ne peuvent suivre ces mouvements, Ton peut concevoir les mouvements qu'elles prendront comme résultant des mouvements imprimés et d'autres mouvements ajoutés ou retranchés qui doivent se faire équilibre au moyen des liai- !>ons Aw système.

Ici encore le problème du luouvemeul se trouve ramène à une question de statique.

4» Principe de d'Alembert,

La méthode de d'Alembert, pour mettre en équation tous les problèmes de dynamique, n'est que l'extension de Tidée de Jacques Bernouilli indiquée plus haut.

Si ton suppose qu'un système quelconque de corps ou de points matériels, solidaires entre eux, sont en mouvement sous l'action d'un certain nombre de forces sollicitantes extérieures, il est évident que chaque point du système prendra, à chaque instant, un accroissement de vitesse différent en grandeur et en direction de celui qu'il prendrait s'il était libre, c'est-à-dire dégagé de toute liaison avec le restant du système, et qu'il pût céder entièrement à l'action médiate ou immédiate de la pression totale qui lui est transmise en réalité pendant chaque instant. Il y a donc, pendant chaq*ue élément dt du temps, une certaine quantité de mouvement mdv, m'dv'..,, etc., perdue par chacune des parties; par conséquent, les mouvements détruits doivent être tels que les corps animés de ces seuls mouvements se fassent éqiiilibre. De là le principe de d'Alembert :

Si l'on imprime à un système de corps une série de mouvenienis que ces corps soient forcés de modifier à cause de leur action ou liaison mutuelle, il y a équilibre entre les forces qui correspondent aux quantités de mouvement perdues pendant chaque élément de temps.

Mais la quantité de mouvement instantanée, imprimée à l'un des points matériel du système, n'étant rien autre que la résultante de la quantité de mouvement effective de ce point et de la quantité de mouvement perdue, il est évident que cette dernière peut, à son tour, être considérée comme la résultante de la première et de la deuxième qui serait prise en sens contraire de sa direction. L'on peut donc énoncer comme suit le principe :

Quand un système de corps ou de points matériels est en mouvement sous l'action de plusieurs forces sollicitantes quelconques, il y a, en tout instant, équilibre entre les quantités de mouvement imprimées réellement, ou plutôt, entre les forces réellement appliquées au

système el celles qui produiraient les moliveiheDtls engendrés effeeiivement dans le cas où tous les points du systènoé seraient libres; seulement ces dernières doivent être prises en sens contraire.

Il est aisé de prouver que le principe de d*Alembert n'est qu*une extension donnée à Fançien principe de l'équilibre entre l'action et la réaction: Quoi qu'il en soit, le traité de dynamique de d'Alembert, qui parut en 1745, fournit une méthode générale pour mettre en équations tous les problèmes du mouvement; et, comme nous Favons dit, c'est en combinant le principe de d'Alembert avec celui des vitesses virtuelles que Lagrange a réduit toute la dynamique à une formule générale.

Recherelie de la premiloii ^ Ihéorènie de Daniel Dernantlll.

Supposons un fluide pesant et homogène en mouvement dans un vase (fig. 7) à niveau constant AB et à sections horizontales qui décroissent du haut vers le bas. Considérons une portion ABGD de la masse fluide telle que la section CD soit au-dessus de la limite du parallélisme des tranches (voir en C')- Supposons aussi que Forifice d'écoulement soit pratiqué en K, à la partie inférieure, et que la per^ manence du mouvement soit établie.

Soit S la surface de la section AB; S' celle de CD;

& celle de ab;

la section ab étant prise à Tendroit où la veine cesse d'être contractée et où le parallélisme des filets peut s'admettre comme rétabli.

Soient encore : V, Y, U, les vitesses moyennes des sections AB, CDeta6.

H et H' les hauteurs verticales de ces sections au-dessus d'un plian horizontal ef.

(î la densité du fluide = — le rapport de la masse au volume.

A le poids $g de l'unité de volume du fluide. MlamasseABCD=V(î.

P la pression, en kilogrammes, sur Tunité de surface de S ou AB (soit par Pair soit par toute autre force).

p la pression, en kilogrammes, sur Tuniié de surface, exercée sur c ou ab, par une force extérieure verticale, agissant de bas en haut (l'air ou toute autre force).

P' la pression, en kilogrammes, par unité de surface, supportée par un point quelconque d'une des parois ou de la masse fluide en mouvement.

^ l'augmentation ou la diminution (ici c'est une diminution) de pression d'une tranche à une autre, provenant du mouvement du fluide dans un vase à sections inégales.

D'après ce que nous avons vu en hydrostatique, la pression P' en un point quelconque situé dans le plan horizontal CD, soit de la paroi, soit de la tranche fluide, doit être représentée par l'expression suivante :

Supposons que la masse ABGD descende en A'B'G'D' pendant l'instant dt; la section AB aura fait le chemin élémentaire AA' ou rfH = \dt, et CD aura décrit dW = \'dt. Si nous désignons par rfM, dii\ rfM"..., etc., la masse des diverses tranches, elles auront pour valeur, soit : dM = dSdH ^ iSVdt; ou bien dM' = SS'dH = dS'V'dt; ou encore dW = d(Tl]dt. Mais comme les mêmes masses doivent passer en un même temps, l'on ne peut pas attribuer aux tranches des épaisseurs élémentaires arbitraires : il faut les prendre proportionnelles à leurs vitesses ou en raison inverse de leur section ; par suite :

dM = dW = dM" == (TSYdï = ^'Ydt = â<rl}dt

et -^ exprimera la masse parlielle ayant l'unité de surface pour base

et dW pour hauteur, et appartenant à la tranche (CD, CD') ou a celle qui se trouve immédiatement en dessous ou au-dessus. Appelons momentanément d^jL la masse élémentaire de la tranche

située au-dessus de (CD, CD') et d^i' la masse de (CD, CD) ; ces dénominations ne devant servir que pour mieux distinguer la différence de position de ces deux masses. La dernière d/ descend avec une vitesse V pendant l'instant dt, et a, sur la première dis. un excédant de vitesse rfV' ; la quantité de mouvement élémentaire due à cet excé-

(liint est da'.dy, e( la force élémeotaire dt)/ capable d'engendrer celle ((uantité du.'.d\' pendant le temps dt, a pour mesure :

d-^ = rff. -^

nous disons : du et non dM, toutes les notations se rapportant à riinilé de surface ou de volume.

Ainsi :

L intégration donne :

]/==-— <3'V'«+ C on constante («')

Pour déterminer la constante, remarquons qu'à la surface du fluide la variation de pression due au mouvement peut être considérée comme nulle; en efl'et, Ton peut concevoir que le liquide affluent qui maintient le niveau y arrive avec une vitesse V égale à celle de AB; Ton aura donc ^ = zéro pour V = V, d'où :

Et, par suite, la pression P' sur Tunité de surface :

P'=-P+ A(H— H')- 4- ^ (^'* — ^') - P Si Ton suppose le vase à Tair libre, alors P = pet Téquation devient :

Il suffit d'une légère transformation de l'équation (o) pour avoir l'expression du théorème de Daniel Bernouilli. Posons à cet effet : V» = 2^H et V'« = ^gW i.^(V2 V2) ^^ (H H') = A (H - H')

D'où nous concluons :

Théorème. Lorsqu'une masse fluide est en mouvement dans, un

vase placé dans u» milieu homogène, la pression sur une tranche quelconcpie est égale à celle qui aurait lieu à Tétat d'équilibre, dimi^ nuée ou augmentée de la pression que produirait une colonne du fluide d'une hauteur due à Taccroissement de vitesse qui a lieu de la tranche supérieure à celle que Ton considère.

Il est facile de voir, d'après l'équation (o), que, si le mouvement est très-lent dans le vase, ainsi que cela se présente toujours quand l'orifice d'écoulement est trhs^eiit, par rapport aux sections horizontales du réservoir, l'on peut négliger le terme ^^ c'est-à-dire Texcédant de pression dû au mouvement dans un vase de forme tronconique ou plus généralement de forme irrégulière. Dans ce cas, comme pour celui d'un vase a section constante, cet excédant devient nul ; seulement, dans le vase à section constante, le terme disparait toujours quelle que soit la vitesse absolue et commune des tranches fluides.

Nous aurons donc, comme cas particulier :

Ou bien, appelant h la différence H — H' :

P' = Afc

ce qui n'est autre que la loi hydrostatique développée en b, et qui est due à la pesanteur.

Le théorème de D. Bernouilli se rapporte au cas d'un fluide pesant et homogène; l'équation qui en résulte est donc particulière. L'on peut, en effet, la déduire du cas le plus général en introduisant quelques hypothèses dans cette dernière (1).

f'.lÊiiaattoiis iréaér»leii da mevTeniciit d'an flaMe iMrfalt.

Si nous rapportons le mouvement à trois axes rectangulaires des coordonnées en x, y ei z, il sera complètement déterminé lorsqu'on connaîtra, à tout instant, pour un point quelconque : l*" les trois composantes w, t?, IV, parallèles aux axes des coordonnées, de la vitesse V propre à la molécule de ce point; 2® la pression p et la densité 5 du fluide.

(4) Lagrange, Mécanique analytique, seconde partie/section X.

Les quantités ti, v, w, p, $ sont d«s foiïctions ée x, y, z, du point auquel elles se rapportent ainsi que du temps (; car, d'un cdté, à une même époque elles changent d'un point à un autre ; d'autre part^ pour le même point de Tespace, elles varient avec le temps. La résohition du problème exige donc cinq équations en u, v, w, peiS.

Représentant par dm un élément de masse, et par X, Y, Z des fonctions connues de x, y, z, t, Ton pourra désigner par Xdm, Ydm, Zdm, Tensemble des composantes parallèles aux: axes des coordonnées et pro venant de la décomposition des forces qui produisent le mouvement.

La masse d'un point quelconque du fluide étant ddœdydz, si l'on cherche la valeur de l'accélération iniprimée à ce point par les forces sollicitantes, Ton trouve que les trois composantes de cette accélération ou les projections de celle-ci sur les axes dés coordonnées sont :

(? dx

(? dy y i dp '

' ^ dz

Remarquant ensuite, qu'après un temps dt, les coordonnées x, y, z, du point ou de la molécule sont devenues x -h «d', y + vd/, y-^-wdt ; comme u est une fonction de x, y, z, t, son accroissement ou sa dérivée répondant aux accroissements udt, vdt, wdi, dt, des quatre variables indépendantes, aura pour expression :

du , , du , , du , , du

. udt -f- -— . vd(-f -j- . wdt + -j^ . dt

dx ' dy dz ' dt

Or, cette quantité est Taccroissement de la vitesse ti projetée sur Taxe des x, après un temps dt, la molécule suivant sa trajectoire. Divisant cette quantité par dt l'on aura la projection sur l'axe des œ de Taccélération de cette molécule. Égalant les deux expressions de cette composante, l'on obtient une première équation :

\ dp ' dtt du du du

^ dx dx ^ dy ^ dz * dt ^ '

L on aurait de même pour les composantes en y et en z :

^ i dp àv . dv , dv , dv

„ I rfp dw dw . dw . dw .,.

^-7 ifc- = «-Âr + '^ +"'-^+-5r- (*>

Ces trois équations entre les cinq inconnues u, v, w, p, à et leurs ilérivées partielles sont les mêmes pour les fluides compressibles et pour les fluides qui ne le sont pas.

Reste à établir deux autres équations entre ces inconnues.

L on détermine la quatrième équation par la condition qu*il ne se forme pas de vide dans le liquide en mouvement, c'est-à-dire qu'il y ait continuité, de façon que la masse contenue dans un volume soit toujours égale au produit du volume par la densité ; aussi Fa-t-on désignée sous le nom d'équation de continuité. Égalant encore les deux expressions de l-accélération de vitesse d'une masse élémentaire, Ton obtient :

Ou bien :

d, ^u . d. ^p . d. âw , rfeT ,,,

dx dy * d% dt

Cette équation est encore applicable aux liquides comme aux gaz.

Quand il s'agit des liquides, elle se dédouble en deux autres relations, par rhypothèse d'une incompressibilité théorique absolue; dans ce cas 3 ne varie pas pour une molécule le long de sa trajectoire, c'est-à-dire dd est nul ; et l'on obtient , entre les inconnues et leurs dérivées, deux équations supplémentaires :

= (4 bis)

di dx

di dy

di

di dt

du dx

de dt,

dw dz

Lorsqu'il s'agit de fluides gazeux. Ton ajoute aux équations (1) (2) (3) (4) une cinquième équation de condition entre la densité, la pression et la température, conformément aux lois de Mariette et de

Gay-Lussac. Celle rélaiioii, pour un gaz à température conston/e, est

^ = Kp ou — = constante (5 bis)

la densité est proportionnelle à la pression.

Pour un gaz à température variable, elle devient :

où K et K' sont des constantes; a le coefficient de dilatation, et 6 la température.

Mais ici une sixième équation deviendrait nécessaire, à cause de la nouvelle variable G.

Malheureusement, Ton n'est parvenu que pour des cas très-limités à intégrer les équations différentielles précitées; il a été impossible jusqu'à présent de déterminer, d'une façon générale, les fonctions arbitraires introduites par intégration.

Par suite, il devient nécessaire d'admettre quelques hypothèses restrictives au moyen desquelles Tinlégration soit possibie. L'on arrive ainsi aux deux théorèmes suivants :