I. Équation du mouvement permanent dun fluide

La première hypothèse que nous poserons sera celle d'un mouvement permanent; c'est-à-dire, qu'en un lieu déterminé de l'espace, le fluide présente toujours le même phénomène ; ou bien que u,v, w, p, â, tout en variant, à un même moment, avec les coordonnées x, y, z, du point auquel elles se rapportent, soient cependant constantes quand le temps t varie, x, j/, z ne variant pas.

D'où :

du

dv

dw

dp

dt

dt

dt

dt

dt

Par une seconde hypothèse, nous admettons que Xdx ^ Yy d + TLdz soit la différentielle exacte d'une certaine fonction (p de x, y, z; ou bien :

\dX+\d^-\'7A%r=^df

Ces deux coudilious admises, eu ^gulanl encore dfifx expressions de raccélération, Ton arrive à Téquation suivante :

rf?--^ =VdV (m)

les différentielles dtf, dp, d\ étant celles qni i*épondent à un déplace^ ment élémentaire ds sur la trajectoire de la molécule.

Pour intégrer facilement Téquation (m), nous admettrons une troisième hypothèse : c'est que le fluide soit un liquide homoghne ou bien un gaz à température constante.

Dans ces deux cas, â est un nombre invariable; par suite, I-Qn obtient en intégrant :

^ ^ — V« = C oa constante (m*)

Pour le cas d'un gaz à température constante, il sutBra de poser = mpoùm est une constante ; Ton aura donc Téquation :

y log. hyp. p — -r- V* = C ou constante (m")

Il faut bien remarquer que les équations (m') et (m'') ne sont démontrées que par une suite de points par lesquels doit passer une même molécule, prise du reste arbitrairement. Elles peuvent donc être très<utiles pour le cas où la forme des trajectoires serait connue d'avance.

II. Équation du mouvement permanent dans le cas d'un fluide homôgine et pesant. Théorème de D. Bernouilli.

C'est admettre que la pesanteur seule reste en jeu, et qi^e les composantes X et Y soient nulles. D'où :

La fonction (f(pcyz) se réduit à (p(s) = gs. Soit A le poids de l'unité de volume du fluide ou dg; l'équation (m') devient :

z ^ ^ ~- =C (it)

C'est dans la propriété exprimée par l'équation (n) que réside le

Ihéorème de D. Beruouilli ; la %forme seule en est ehdngée et peut s'énoncer comme suit :

Si, pour divers points d'un fluide en mouvement permanent, tous situés sur la trajectoire d'une même molécule, Ton preifd la hauteur en dessous d*uQ plan horizontal fixe, d'une part, et la hauteur représentative de la pression, plus la hauteur due à la vitesse, d'autre part, la différence sera une quantité con&tanle.

Pour un gaz à température constante, l'on doit faire (f=gz dans réquation (m'').

III. Équation du mouvement permanent d'un fluide quelconque en y introduisant l'action de la viscosité)

Appelons ^' l'accélération de vitesse imprimée à une molécule par les forces inconnues qui proviennent de la viscosité. Soit (ù l'angle que fait la résultante de ces forces avec l'élément ds parcouru sur la trajectoire; le travail de ^' dans le déplacement ds sera ^' cos w. ds.

L'équation (m) devient ici :

YdV = d^ - i dp 4- ^' co$ «. ds ./. (m'")

Intégrant entre deux positions quelconques d'une même molécule :

L'équation (n') peut être considérée comme l'expression du théorème deD. Bernouilli, généralisé par l'introduction de ^' et par une hypothèse plus étendue quant à la nature des forces extérieures qui solli citent le fluide en mouvement.

Si l'on introduit de même l'action de la viscosité dans l'équation (a) que nous avons établie, page 42, pour la démonstration à priori du (héorème précité, l'on obtient :

d^ = df*' -^ + ¥co$, r... ds (a")

qui devient par intégration :

^=1. eTV» + I Y COS «. ds

+ C (an

L eqaalîon {a'") représente alors le théorème de D. Bernouilli, rendu plus complet par Tintroduction d'une nouvelle force, la viscosité, dont Taction, variable avec la nature des liquides, n'en est pas moins réelle. L'on pourra se servir des équations (n') et (a'") lorsque, par un procédé quelconque, Ton parviendra à évaluer le terme !'>{/' co$ &>. ds

représentant le travail fait par les forces provenant de la viscosité, pendant le déplacement fini d'une molécule.

Pour le cas du théorème actuel, c'est-à-dire d'un liquide pesant et homogène, l'équation (n') devient :

^- ■f-+-7 H'«»<.«.^*- ir = c (p)

et pour un gaz à température constante

iog. hyp. p. -Img

il V»

— I +' CM. ft>. (h -— =

^'. Be la v|«e««ité 5 aperf « erltl^ve de ^veliiaes tltémH^m.

Un grand nombre d'auteurs se sont occupés de la question isi complexe de la viscosité; tels sont : Newton, Coulomb, Dubuat, Girard, De Prony, D'Aubuisson, Ëytelwein, Poncetet, Navier, Sonnet, Dupuit, Génieys, Bélanger et D'Arey. Diverses idées émises ou expé* riences faites par les savants précités ont servi de point de départ aux théories remarquables de Navier, De Prony, Sonnet, Dupuit, D'Arey, etc.

Newton posa en principe que la viscosité développe entre deux molécules une force mutuelle f proportionnelle à la vitesse avec laquelle ces deux molécules s'écartent Tune de l'autre.

Partant de là, il fut admis que, vu la distance excessivement petite a laquelle deux molécules fluides agissent l'une sur l'autre, en vertu de la loi de continuité, ces deux molécules ont nécessairement des vitesses très-peu différentes; que, par sui(e, la vitesse avec laquelle elles se séparent est encore plus faible et qu'elle est due à la différence des deux précédentes. Appelant v la vitesse, censée finie, avec laquelle se séparent deux molécules fluides, l'on peut représenter f par F (v)

une certaine foucliou où v est considérée comme la variable. Mais, ôtttre cette hypothèse de t) = à une quantité finie, Ton- admit, comme force de même nature et de même origine, celle qui est développée par la viscosité entre une molécule fluide et la molécule solide de la paroi du vase ou du conduit; et Ton représenta par une fonction cp {v) la force complète produite par les deux résistances. Développant 9 (v) en série, suivant les puissances de sa variable v, Ton obtint : (p(t,) = A + B« + Ci;«+Dt>' + v""

Comme les expériences tendent à prouver que (f (v) est presque nul quand v = 0, Ton posa plus simplement :

ff{v)=Bv + Cv* (0)

négligeant aussi les termes où le degré de la variable est supérieur à 2.

Afin de légitimer Thypothèse par laquelle Texpression (0) doit représenter Tensemble des 2 résistances produites par la viscosité, Ion admit en principe qu'il existe une couche d'eau, inhérente aux parois, d'une vitesse nulle, et sur laquelle glisserait la couche suivante, avec une vitesse finie; ces dernières formeraient alors la vitesse réelle du fond dans les canaux découverts ou celle de la circonférence SttR dans un tuyau de rayon R.

Ces hypothèses, toutes gratuites et inadmissibles, conduisirent fatalement à la nécessité d'admettre une conséquence qui est loin d'être démontrée : c'est que Teau éprouve la même résistance de la part d'une paroi i[uelconque, puisqu'elle ae glisse jamais que sur de l'eau et non sur les aspérités d'un solide.

Cependant, de tels principes servirent de guides à plusieurs savants dans leurs études sur les lois de l'hydrodynamique. Ainsi, Dubuat n'aynDl trouvé aucune variation dans le frottement, pour les différents cas où l'eau coulait sur du verre, du bois, du fer, du plomb, de l'étain et diverses espèces de terres, ce fait est expliqué, de la part du classique D'Aubuisson, par l'observation que, dans tous les cas, le frottement n'a lieu que sur la couche aqueuse qui revêt la paroi du lit. Autre part encore, ce dernier auteur considère les masses fluides comme s'écoulant contre un revêtement ou enduit aqueux fixé contre les pfirois des tuyaux ou des canaux découverts.

S'ftppuyaut sur des idées émises par Coulomb, un autre savant,

iM. Girard, admit d*abord, comme tant d'autres, que l'eau glisse sur la paroi mouillée, ou plutôt sur la couche d'eau adhérente; coasidérafit alors que le mouvement de cette eau est d'abord retardé par la viscosité qui tend à la retenir sur celte couche liquide (c'est notre cohésion)^ il en conclut une première force retardatrice proportionnelle à la vitesse. Mais, outre I9 viscosité, dont l'effet, disait-il, est indépendant des aspérités de la paroi, il faut encore tenir compte d'une autre force retardatrice, produite par ces aspérités , et qui est analogue à celle du frottement dû à la nature de la paroi et variable avec elle, mais différente cependant des forces de frottement en général en ce que la deuxième résistance en question n'est pas, comme ces dernières forces, variable avec la pression. Cette résistance ou ce frottemeut suivrait, d'après M. Girard, pendant un temps donné, la raison compoisée de la force et du nombre des impulsions que reçoivent les aspérités, ce qui la rendrait proportionnelle au carré de la vitesse.

La première hypothèse de M. Girard est fausse ; la seconde ne seloigfie guère de la vérité, mais pour sa conclusion seulement.

D'après ces notions, bien arbitraires, posées par Dubuat, Girard, Coulomb, D'Aubuisson, etc., l'on a admis que la formule (0) :

y(ç) = Bv + C««

était une loi naturelle, que le terme en Bv représetitait la résistance engendrée par la cohésion, et Cv celle qui est produite par l'adhérence à la paroi solide. (Voir D'Aubuisson.) Dès lors on considéra les deux coefficients B et G comme deux quantités constantes, variables avec la nature du fluide, mais indépendantes de celle des parois et faciles à déteroiiner par des expériences .

L'un des savants qui ont imprimé le plus de progrès à la science de rhydraulique,'M. De Prony, a supposé que les deux résistances croissent avec la vitesse relative. Cette hypothèse semble logique pour autant qu'il s'agisse de l'adhérence; en effet, les vitesses le long des parois, soit du fond soit des côtés, sont des quantités finies, car si Ton ne voit pas toujours au fond des courants d'eaux. Ion voit fort bien que la vitesse sur les rives est appréciable, donc finie; par suite, l'on conçoit à la rigueur qu'une certaine fonction de cette vitesse à la paroi puisse faire équilibre au poids du liquide. Mais il n'en est plus

de même de la cohésion, ou plutôt sa valeur doit s'exprimer autrement : la vitesse relative de deux couches contiguës du liquide e^st un infinimeut petit, et une fonction d'infiniment petit ne peut pas égaler une quantité finie ; il suffirait , comme nous le prouverons au chapitre IV, d'une vitesse excessivement petite du liquide, glissant, sur lui-même, pour produire une résistance égale à celle qui est causée par une vitesse finie du liquide, glissant sur la paroi, et égale à la force accélératrice imprimée par la pesanteur à toute la masse supérieure.

La cohésion étant en outre infiniment plus grande que Tadhérence et que la force de la pesanteur, si Ton représeatait, avec De Prony, I adhérence par f (v') + F (v')^ on v' serait la vitesse au fond d'un canal ou conduit découvert, et par f{v"—v') la force retardatrice (qui proviendrait aussi, dit De Prony, da glissement du filet contigu sur une couche liquide adhérente à la paroi ^ et par conséquent de'méme nature que l'adhérence) proportionnelle à v'- — v'^=^v, qui est due à la cohésion, il arriverait nécessairement, eu développant f{dv) et f{v') + F(t;') ou simplement /"(t?') que la première ne saurait être égale à la seconde qu'à la condition d^avoir des coefficients infiniment grands tandis que f{v') n'en a que de finis*

Développons ((dv) suivant les puissances ascendantes de la variable dv :

^^ii„) = Md» -f- Nd»« + Pd»« .........

Comme dv est très-petit, l'on peut poser :

f(dv) = mv

Nous démontrerons au chapitre IV que ce coefficient M est néces-

sairement de la forme C -^r— où z exprime la profondeur variable du

filet liquide, et C une constante que l'on peut déterminer dan$ chaqjie

expérience spéciale. Dès lors, la résistance fournie par la cohésion

doit être représentée, non plus par Cdv, comme l'admettait De Pron} , j„

mais par C --j— ainsi que l'ont prouvé Navier et Dupuit, du moins aZf

approximativement. Il n'est pas hors de propos de faire remarqfiei!

dv que cette expression C -jr- de la résistance due à la cohésion des

fluides, offre ane analogie complète avec celle que Ton emploie, en mécanique, pour mesurer celle des solides; en effet, lorsqu'on écarte deux molécules solides, Ténergie de la cohésion qui tend à les rapprocher n'est pas mesurée simplement par leur distance, mais par le rapport de leur distance actuelle à leur distance primitive.

Ajoutons ici que lorsqu'on substitue N --7— j k f (dv) il n'est plus

permis de supprimer les termes en dt)>, cft?^, etc., attendu que

verrons plus loin que, s'il n'est pas exact d'exprimer par C-r- l'éner-

dz

gie de la cohésion, c'est parfois une valeur assez approchée dans fa

pratique; et que, pour représenter rigoureusement cette résistance, il

fdvV fdvy

( -7— 1 f -T- 1 , etc., deviennent des quantités finies. Cependant, nous

faut employer l'expression C f-j— )

Navier (1) le premier a cherché à résoudre le problème du mouvement des fli^ides, en introduisant dans l'équation générale les forces produites par la viscosité. S'appuyant sur les idées de Newton, il pose en principe que, « par l'effet du mouvement du fluide, les actions « répulsives des molécules sont augmentées ou diminuées d'une quan- « tité proportionnelle à la vitesse avec laquelle les molécules s'éloi- « gnent ou se rapprochent entre elles. Il s'établit, même dans l'étal « d'équilibre (en hydrosta^que, par conséquent), des actions répul- « sives entre les molécules du fluide et celles des parois solides dans « lesquelles il est contenu. Ces actions doivent être également modi- « fiées ou diminuées de quantités proportionnelles aux vitesses avec « lesquelles chaque molécule fluide s'approche ou s'éloigne de chaque « molécule immobile appartenant à la paroi. »

L'on peut conclure de cette définition, que Navier place ces deux forces sur la même ligne; une seule et même hypothèse sert de base à la formule qui les représente, c'est celle d'une résistance proportionnelle à la vitesse avec laquelle les molécules s'éloignent ou se rapprochent.

(4) Mémoires de l* Académie des sciences de Paris, tome VI.

Si, avec Navier, l'on désigne par a la vitesse, très-petite d'ailleurs, avec laquelle deux molécules fluides se séparent, et par7'(a) une fonction de a qui représente la cohésion, c'est-à-dire Taction mutuelle ou force mutuelle développée par la viscosité proportionnellement à a, Ton obtiendra, par le développement de /"(a) en série :

/(a) = A -f- Ba -f Co« + Do» +

comme les expériences tendent à prouver que f(a) devient insensible quand a est nul, Navier pose : A = o. En outre, à cause de la petite

valeur de a, il admet que lés termes Ca*, Da' , sont négligeables

par rapport à Ba, et que, par suite, la force f{à) est proportionnelle à la vitesse a.

L'hypothèse de A = o n'est pas rigoureusement vraie; il y a nécessairement un terme constant dans le développement de /'(a), car un plan incliné reste mouillé après Técoulèment; et ce fait résulte, non pas de l'existence d'un revêtement aqueux (D'Aubuisson), mais de ce que l'écoulement s'y est terminé au moment où la hauteur h de l'eau sur cette paroi était sensiblement nulle; en effet, la nature des choses s'oppose à ce qu'un écoulement d'une hauteur finie puisse être interrompu brusquement.

Quant à la deuxième hypothèse de Navier, elle est complètement

en opposition avec la réalité. Pour que Ca*, Da' , disparaissent

devant Ba, il faut que a soit infiniment petit et que B ne soit pas nul ; or, rien n'établit à priori qiïe B soit nul, et comme a est une quantité finie quand il s'agit des molécules en contact avec la paroi, le raiisonnement de Navier n'est plus du tout applicable.

Partant de la relation /"(a)==Ba, Navier arrive, après bien des calculs, à remplacer les trois équations (1) (2) (3), relatives au mouvement d'un fluide parfait, par trois nouvelles relations plus compliquées et, par conséquent, plus difficiles à résoudre ; les équations (4 bis) et (S) restent les mêmes pour les liquides naturels comme pour ceux d'une fluidité parfaite.

Les cinq équations différentielles, du second ordre, ainsi modifiées partiellement, s'appliquent seulement aux points pris dans l'intérieur de la masse liquide. Pour celles qui sont situées à la surface libre ou pour les molécules adhérentes aux parois» Navier a

posé d'autres équations dififéreutielles spéciales et du premier ordre. Il est donc probable que Ton serait arrivé à des résultats tout à fait vicieux si Ton avait fait à la pratique rapplication des généralités théoriques et des formules de Navier. Ajoutons cependant que le mémoire de cet éminent mathématicien présente un progrès réel sur les théories des auteurs qui Font précédé ; et que, le premier, il a donné à la résistance due à la cohésion la véritable forme de sa valeur :