CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTHODES, ETC

reurs £,, e s ,. . e, est

h t h 2 . . . h s n 7 e~ lhil * de 2 . . . ds s

et que le système d’erreurs le plus probable correspond au maximum de cette expression, c’est-à-dire au minimum de 2/i*E*. Il est facile de prouver que les valeurs de x, y, z,..., qui rendent 2s*/i* minimum, satisfont aux formules (i3). En elfet, on a

et, par suite,

Pour trouver le minimum de cette expression, il suffit d’égaler à zéro ses dérivées partielles, par rapport à x, yy z,. . ., ce qui donne

a y h\{a x x -4- b y y — k y ) -b a 2 hl(a 2 x H- b 2 y - 4-... — k 2 )-b ... = o, b\ h \[a y x b y y — . . . — k y ) -4- b 2 h^[a 2 x h 2 y - 4 - . . . — k 2 ) -1- . . . — o,

Si l’on ordonne ces équations, par rapport à x, jy, z,..., on retombe sur les formules (i3). Lorsque les observations comportent la même précision, ce que l’on suppose ordinairement, la méthode revient, comme on voit, à rendre 2 e* minimum; de là le nom de Méthode des moindres carrés donné au procédé que nous venons d’indiquer.

En résumé, la méthode des moindres carrés suppose le nombre des équations à résoudre très-grand ; elle n’est rigoureuse qu’à cette condition. Il est important, en effet, de remarquer que la forme assignée par Gauss à la fonction

repose sur cette hypothèse, que la moyenne arithmétique d’un système de valeurs approchées d’une quantité est la valeur la plus probable de cette quantité (p. i54); or il serait tout aussi naturel d’admettre que la moyenne géométrique, que la moyenne harmonique, etc., représentent la valeur la plus probable de la quantité cherchée, et à chacune de ces hypothèses correspondrait une forme différente de <p.

Pour appliquer la méthode des moindres carrés, et surtout pour pouvoir calculer la probabilité P que l’erreur \ de x ne dépasse pas /, il faudrait connaître les quantités M* ou li \ or les rapports de ces quantités à l’une quelconque d’entre elles sont connus. En effet, s’il n’y a aucune raison d’attacher plus d’importance à une observation qu’à une autre, on est bien obligé de supposer les fonctions cp 2 , . . . identiques, et, par suite,

Si, au contraire, il y a quelque raison plausible pour attacher des poids inégaux aux diverses observations A* t , À - *, . . . , on connaîtra généralement la mesure de la précision relative de ces observations. Par exemple, Ztj, /r 2 , . . . pourront être des angles mesurés respectivement par /?,, . . . répé-

titions, et les quantités M^, M ( a a) , . . . pourront être grossièrement calculées en s’appuyant sur les résultats donnés (p. i 52 et suiv.)} dans d’autres circonstances, il sera plus difficile de déterminer les rapports M^îM^h.., et, en l’absence de toute règle, c’est par le sentiment qu’on devra se laisser guider pour fixer les valeurs de ces rapports.

Quoi qu’il en soit, supposons lies rapports : M^ a) . . . ou h\ \h\. . . connus et désignons-les par ; 0 a . . . , les formules (i3) deviendront

x'LQa' 1 -\-y20ab -f- . . .“20Æ,