CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTHODES, ETC

soient satisfaites } puis on en conclura

( 2 ) x—'Zfà,

avec une probabilité que l’erreur sera moindre que /, donnée par la formule ( 1 1 ).

Pour résoudre la question, il suffit de différentier et d’égaler le résultat à zéro, ce qui donne

— — ctk { -f- — cTk 2 -f- — d\ s o.

On a aussi, en différentiant les formules (3),

a l -f- ûj (Tkj H~ . . . — f- c i t d\ s — - o,

b[ tT). 1 -f- (tk 2 -+■ . . . -f* b t d\ s z ~ o,

Employant alors la méthode des multiplicateurs, on est conduit à poser

— — A , -f- B H- Ce, 4- . .

— == A a 2 -4- B b 3 -f- Ce, -f- . . . ,

L’élimination de A, B,... entre ces équations déterminera une série de relations qui, jointes aux équations (3), feront connaître les valeurs de X. Pour faire l’élimination, multiplions la première des équations (a) par h \ la seconde par 7ij« s , etc.-, ajoutons, en ayant égard à Z ak = 1 . Cela fait, multiplions encore la première des équations («) par h\b t ^ la seconde par h\b x , etc.} ajoutons, en ayant égard à

l68 CALCUL DES PROBABILITÉS.

2ü=o, etc., nous aurons les formules

I =A 2A’« 3 4 B2 h'ab ■+- , . . , o — A^h’ab - 4 - ’R’Lh'b* o — A.'Lhïac -+- B2/i’k 4- . . . ,

d’où nous tirons pour A, B,. . . des expressions de la forme

(ia) A=^A 0 , B=^A t , C= ^ A,,. . . ,

où A représente le déterminant des coefficients de A, B, C,.. . et A„ le déterminant mineur de A, que l’on obtient en ôtant la première ligne et la première colonue, etc. Les formules (a) font alors connaître 1,, ; mais, si l’on

forme la quantité 2XA, qui est égale à x, en vertu de l’équation (a), on trouve

i = A2A’ayl4 B2A’è/ -t-ClA’cA -f-...

et, en remplaçant A, B, C,. . . par leurs valeurs ( 12 ),

x = ^ ( A„ 2 h 7 ak 4 - Aj2 h 7 bk 4 - A e 2A I cA 4 - . . .}.

Or il est important d’observer que la valeur de x ainsi obtenue, que les valeurs d e jr, z,. .. obtenues d’une façon analogue, sont les solutions des équations

i x2A , a î -±- y2h 7 ab -h z2.h 7 ac 2h 7 ak,

(i3) | x2,h 7 ab 4 - yl.h 7 b 7 4- z'Lh'cb 2Æ 1 bk,

Gauss parvient à ces mêmes formules d’une autre manière, en observant que la probabilité du concours des er-