CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTHODES, ETC
et permettront de calculer la valeur la plus probable de x ou 2AM,. Supposons que Ton connaisse les valeurs les plus probables de y, de z , . . . \ désignons par x\y\ z\ . . . ces valeurs les plus probables, la différence entre
a t x' 4 - bi y' -+* ci z ' . . . et ki
sera à peu près égale à e,-. Or il est facile de prouver, par une analyse toute semblable à celle qui précède, que XA*M* est très-probablement fort peu différent de £A*j 2 * 4 ; les quantités A sont connues, les e peuvent être calculés approximativement, comme nous venons de le dire, et, par suite, la probabilité P donnée par la formule (n) pourra être calculée avec une exactitude très-suffisante.
Nous terminerons ce paragraphe par quelques remarques importantes :
i° Si l’on applique la méthode des moindres carrés à des équations à une seule inconnue, dans le cas où la précision de chaque observation reste la meme, il est facile de voir qu’elle conduit à prendre pour valeur de l’inconnue la moyenne des observations. En effet, les équations
x. =rr A'i, x =r k 2i . . . , x rît: k t
donnent Inéquation unique
ou
2 0 M. Yvon Villarceau a déjà fait remarquer que des mé-
thodes en apparence très-différentes de celle des moindres
carrés pouvaient «conduire à des résultats peu différents de ceux que l’on obtiendrait en suivant cette voie. Si les nouvelles méthodes paraissent très -expéditives, on peut les appliquer, et la théorie exposée ci-dessus permettra de calculer la probabilité des résultats que l’on trouve. En
effet, les multiplicateurs X ne sont soumis à aucune hypothèse particulière dans le calcul de P, et toute méthode d’élimination revient au fond, comme on le sait, à la méthode des multiplicateurs.
Généralisation de la méthode des moindres carrés.
Lorsque les équations que l’on a à résoudre 11’ont pas la forme linéaire, on peut encore leur appliquer la méthode des moindres carrés et voici comment. Soient
les équations à résoudre, on commencera par calculer, à l’aide de n de ces équations, les n inconnues x, y, s,. . . ; les valeurs trouvées a, ( 3 , y, . . . seront des valeurs approchées de x, y, z,. . . ; en posant alors
x — a -4- Sx, y = p -+- Sy, z = 7 -t- <îz, . . . ,
les formules (1) deviendront
/t H- te + <*T + • • • = O,
COL C’p
r , ij/» , • i/i ,
et l’on pourra négliger les termes du deuxième ordre en 3 x, Oy, .... Ces équations sont alors du premier degré et on peut leur appliquer la méthode des moindres carrés ; cette méthode conduit alors à évaluer de très-petites valeurs, qui
devront être considérées comme des termes de correction.
