CHAPITRE IY. — SUR LES MÉTHODES, ETC

Remarques de M. Bienaymé.

Il y a quelques années, M. Bienaymé attira l’attention des géomètres sur ce point important, que la méthode des moindres carrés, telle qu’elle se trouvait exposée dans les Ouvrages classiques, était loin de fournir les valeurs les plus probables des inconnues avec toute la précision qu’on lui avait attribuée tout d’abord. Et, en effet, on avait autrefois l’habitude de calculer séparément la probabilité de la valeur de chaque inconnue, comme si elle eut été indépendante des autres; on était loin d’obtenir ainsi la probabilité du système adopté pour l’ensemble des inconnues.

Si l’on désigne par p la probabilité que l’inconnue x sera comprise entre cl — l et a -+- /, par q la probabilité que l’inconnue y sera comprise entre (3 — m et |3 -f- /»,... , on voit que la probabilité du concours de ces circonstances sera à peu près pq ... . Je dis à peu près , parce que ces circonstances ne sont pas tout à fait indépendantes les unes des autres, et il convient de donner à cet égard une analyse rigoureuse ; on voit cependant, par le raisonnement qui précède, que la probabilité du système $es valeurs admis pour x, y y . . . sera moindre que la probabilité de la valeur attribuée à chaque inconnue. Toutefois il est bon d’observer que les méthodes exposées plus haut sont suffisantes, tant que l’on ne désire pas calculer toutes les inconnues, mais seulement une seule d’entre elles. Enfin il faut rappeler que Laplace, en justifiant pour la première fois la méthode des moindres carrés, sans faire d’hypothèse sur la forme de la fonction <p, ne s’est pas rendu coupable des fautes que M. Bienaymé reproche aux géomètres plus modernes. Nous ne pouvons pas ici reproduire complètement l’analyse donnéé par M. Bienaymé, dans le Journal de

M. Liouville , t. XVII \ mais, profitant de ces remarques, nous donnerons une solution approchée de la question en suivant une autre méthode.

Supposons que les équations à résoudre soient, comme plus haut,

Nous supposerons que le nombre des inconnues .r, y, z,... soit r. Pour résoudre le système (1), on fait, comme on le sait, usage de la méthode des multiplicateurs, et l’on pose

( 2 a\ — 1, 2 cX=o,...,

2 a;xz= o, = 1, 2 cp = o,...,

] == o, 2bv=o, Zcv = 1 , . . . ,

le signe 2 s’étendant aux valeurs des indices 1, 2, 3 , . . . , s des a, b, c, . . . et des A, ja, v, . . . $ on choisit ensuite

(3) æ* = 2X/-, jzrrZfxÆ, z = 2vX, ....

Les formules (2) ne suffisant pas à la détermination des A, /x, v, . . . , puisqu’elles ne sont qu’au nombre de r*, on achève de déterminer ces quantités en leur imposant la condition de donner au système .r, jy, z, . . . un maximum de probabilité.

Pour y parvenir, appelons e t , £*,..., -e, les erreurs des observations k\ , A*, . . . , k, et j- , y?, £, . . . les erreurs qui en résultent pour .r, y, z , . . . , les valeurs exactes .r -f- £, y + ry,... devant satisfaire aux formules (1) quand on y