CHAPITRE IT. — SUR LES MÉTHODES, ETC. Ij

remplace k par k -+- e, on a

jc H = a k -f- ).i , y -f- 7i cjz 2 ft k ~4- 2ê [j-t t . . * ;

de ces formules et des formules (3) on tire

(4) | = s=2f<it, Ç = 2v«,....

Soit maintenant cp ,• (s,) la facilité de l’erreur t, commise sur l’observation k,- et, pour plus de généralité, supposons les facilités des erreurs différentes dans les diverses observations : l’observation A, sera, par exemple, un angle mesuré par p, répétitions, k , sera un angle mesuré par p t répétitions, et ainsi de suite;

(5) tp, (£,)*, y 2 (t,)di 2 . . .<f,(t t )dh

sera la probabilité du concours des erreurs e,, sur

A',, À, , . . . , ou d’erreurs diflérant de celles-là de quantités inférieures à t/e,, t/e,,..., de,. En intégrant ce produit de telle sorte que l’on ait

on aura la probailité que les erreurs des inconnues satisferont à cette relation. Pour effectuer le calcul, nous multiplierons la quantité à intégrer par

sina

cosGa

du,

qui est égal à zéro ou à l’unité, selon que G est plus petit ou plus grand que l’unité, et nous poserons

La présence du facteur que nous introduisons ainsi nous permettra de prendre, pour limites des î, — oo et + oo . En désignant alors par P la probabilité cherchée, nous aurons

! /*+“ du

P = - I . . . o, (t, ). . . s ( e,)A , . . . A. cosGa sin u — •

Si nous développons cos Go suivant les puissances ascendantes de u, nous trouvons

P = - / . . . («, ). . .ÿ,(«,)A,. . . dt,

X I i 1 ti . . . ) sin u —

Or G“, en général, est une fonction entière des e; en effet, G" est fonction entière des £ , n, Ç, . . . respectivement égaux à Z As, 2 us, 2ve, Si alors on pose

/»H-oo /»- t-oo

/ = I ?»(«»)*” Ai = M“, . . . ,

l’intégrale

/»-f- oo /» CO

pourra être représentée par T,, en désignant ainsi ce que devient G', quand on y remplace e“ par M“, s“ par M“, . . . , et l’on trouve alors

„ i / ,+ * sina / r,a> r,a‘ \

«J- =0 ~ ( , "ÏT + "4! ’

ou bien, en négligeant les termes du quatrième ordre et en