CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTHODES, ETC

Application des théories précédentes à la recherche des lois des phénomènes.

La recherche des lois d’un phénomène se réduit, comme l’on sait, en dernière analyse, à la recherche d’une fonction, dont on connait un grand nombre de valeurs, avec les valeurs correspondantes de la variable; mais il se présente deux cas à examiner, dont nous donnerons deux exemples. Dans l’un des cas, et c’est le plus ordinaire, on peut admettre qu’une seule observation, pour une même valeur de la variable, fournit une valeur très-approchée de la fonction : tel serait le cas où l’on aurait à étudier la manière dont varie l’allongement d’une barre avec la température. D’autres fois, au contraire, il faut un grand nombre d’observations pour fixer la valeur de la fonction correspondant à Une valeur donnée de la variable. La construction desTables de mortalité, qui indiquent combien, sur ti individus, nés le môme jour, il en reste en vie à l’àgc x, est un exemple du second genre de questions.

Je suppose donc qu’il s’agisse de déterminer une fonction de la température t, telle que, pour t = t 0 , t,, t,, . . . , elle prenne les valeurs d 0 , ô' 1 , .., qui représentent les lon-

gueurs d’une barre aux températures t 0 , é,, t,, . . . .

Pour résoudre cette question, on commencera par fixer a priori le degré d’exactitude sur lequel on peut compter dans chaque observation; on saura, par exemple, que la

longueur 5 est mesurée à - près et que la température est mesurée à — près, grosso modo. On pourra estimer qu’une variation de — dans t ne produit pas une variation - dans 0

et, par suite, pour une valeur exacte de t, on évaluera l’erreur admissible pour d comme inférieure à - -I- - = E.

1 n fi

Les observations, dans le cas dont il s’agit, sont censées faites avec le même soin, en sorte que nous supposerons la précision constante. Nous chercherons alors à représenter la longueur d de la barre à la température t par une expression de la forme

3 — d -t- bt.

Pour cela, nous substituerons à la place de d et de t les valeurs observées, et nous aurons des équations telles que

( 1 ) 3 t d -f~ bt e , - a -+- bt ,, . . . , J ( d -f- bt n

qu’il faudra bien se garder de simplifier dans le cas où l’on aurait des dénominateurs que l’on voudrait chasser. En considérant a et b comme des inconnues, on appliquera aux formules (i) la méthode des moindres carrés et l’on calculera la probabilité des valeurs trouvées pour a et b. Si l’on trouve cette probabilité assez voisine de l’unité, on adoptera définitivement la forme

d — d — t— bt j

si, au contraire, on trouve une faible probabilité pour a et b, on essayera la forme

d = a -t- bt -+- et

On déterminera a, A, c par la méthode des moindres carrés, au moyen des formules

3 0 = d -t- bt 0 -4- et* , 3 t = d -t- bt\ -4- et J , . . . ,

et l’on calculera encore la probabilité des valeurs trouvées