CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTIIODES, ETC

Je suppose que l’on ait construit, avec une exactitude suffisante, une Table de mortalité pour une classe déterminée d’individus, le nombre des survivants y A l’Age x sera une fonction de x , que nous pourrons appeler f[ x ), et l’équation

représentera une courbe qui porte le nom de courbe de mortalité. La plupart des courbes de mortalité sont sans inflexions et ressemblent plus ou moins au quart de la développée de l’ellipse. La courbe de mortalité de Genève, cependant, présente un renflement vers son milieu, et, par suite, a deux points d’inflexion. La courbe de mortalité de Duvillard, dont nous aurons l’occasion de parler plus loin, présente cette particularité que, si l’on réduit les ordonnées à leurs logarithmes, la courbe devient symétrique par rapport à la droite y = x-, mais, pour cela, il faut choisir l’échelle des nouvelles ordonnées convenablement. Fédor Thoman a construit un certain nombre de courbes de mortalité que l’on peut voir dans un Atlas publié par M. Eugène Pereire.

Vie moyenne, vie probable, etc.

La vie moyenne, à un âge donné, est la moyenne des Ages auxquels parviennent les individus de cet Age. Soit y =f(x) le nombre des survivants à l’Age x. Si l’on veut trouver la vie moyenne à l’Age a, il suffira de considérer que dans le temps dx il meurt — dy individus .d’Age x : la somme des années qu’ils ont vécu est — xdy. En faisant ainsi la somme des années qu’ont vécu tous les individus de la Table qui meurent pendant chacun des intervalles tels que dx, on aura la totalité des années pendant lesquelles

ont vécu ces individus, et, en divisant par leur nombr ef[a) y on aura la vie moyenne à l’àge a ou

xdy

Il vaut mieux écrire cette expression d’une autre manière : en intégrant par parties et en observant quey’(oo) = o, on a

30 ydx

J a /(«> Ja

Cette dernière expression présente sur l’autre l’avantage de ne pas contenir la différentielle dejy, laquelle est connue avec moins d’exactitude que y. On conçoit, en effet, qu’une faible variation dans deux ordonnées voisines n’altère pas sensiblement la valeur de jr, et modifie cependant beaucoup la direction de la tangente à la courbe de mortalité. Si dans l’expression que nous venons de trouver on fait a = o, on a la vie moyenne à l’époque de la naissance; cette vie moyenne est

œ ydx

Si f{x) représentait la totalité des individus de l’àge x pour

J r* oo

ydx serait la popuo

lation de cette nation, et la vie moyenne s’obtiendrait, comme l’on voit, en divisant la population par le nombre des naissances. (Dividende et diviseur sont censés constants.)

Laplace, dans sa Théorie analytique des probabilités, cherche l’erreur commise dans le calcul de la vie moyenne, en opérant sur un nombre donné de naissances; cette erreur

résulte très-simplement de l’erreur commise sur ? que le théorème de Bayes permet d évaluer.