CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTHODES, ETC. ig

Je suppose que l’on ait construit une Table comme nous .venons de l’indiquer; on peut chercher à l’interpoler, c’està-dire que l’on peut chercher une fonction qui, pour des valeurs de x suffisamment rapprochées, reproduise dans l’intervalle de la Table les nombres f(x) exactement, ou à des quantités près inférieures à l’erreur que le théorème de Bayes assigne aux nombres f(x). Lambert et Duvillard ont proposé les formes suivantes :

/(•*) = A ^i — ^ + rn(e h -

où A, «, m , /i, k désignent des constantes. Gompertz a proposé une formule fort usitée parmi les actuaires anglais; la voici :

où G et q sont des constantes. Quoique cette formule contienne moins de constantes que celle de Lambert, elle parait représenter plus fidèlement le phénomène de la mortalité. Nous ne terminerons pas ce paragraphe sans faire une

nons d’indiquer. Le théorème de Bayes ne donne des indications précises qu’à la condition que les événements observés ne présentent pas une probabilité trop faible. Une bonne condition à remplir est de faire en sorte que ces probabilités soient voisines de -J. Or en observant sur N individus nés le même jour combien il en survit en cinquante ans, on trouve un rap«

port assez faible, et les indications du théorème de Bayes sont moins

précises. Le même motif engage à ne pas prendre non plus des époques trop rapprochées; parfois l’intervalle d’un an sera trop faible, et il sera bon de calculer F(x) au moyen de la formule

où a, b sont des âges convenablement échelonnés.

. , , .. . df - . .

remarque au sujet de la Jonction — • La quantité — — ou

f( x) — f(x-\-dx) .. f(.r-l-dr) .

probabilité qu’un individu de l’àge x n’atteindra pas l’âge x -+- dx ; car ~~~ÿr ~ — • est la probabilité qu’il l’atteindra.

Ainsi — — est la probabilité de mourir dans l’intervalle

de temps dx\ donc — jélx csl: P ro P ort ' on ( l es niorts dans

le temps dx. On a donné à cette quantité le nom de taux de mortalité ; le taux véritable de mortalité est difficile à évaluer, et de ce que l’on connaît assez bien f (x) il ne faudrait pas en conclure que f'(x ) peut être déterminé avec la même précision. En ellét, deux fonctions peuvent avoir des valeurs sensiblement égales et néanmoins avoir des dérivées très-dillércntes.

Probabilité de la durée des associations.

Les Tables de mortalité permettent de calculer la durée des associations, c’est-à-dire de l’existence simultanée de

fi x \

plusieurs tètes. Si nous nous rappelons que repré-

sente la probabilité qu’un individu d’àge x 0 parviendra à l’âge x,

représenteront respectivement la probabilité qu’un individu d’àge a vivra encore x années, et la probabilité qu’il mourra avant x années.

Si l’on considère deux individus d'àges a et b, eu vertu

CUA PITRE IV. — St* IES MÉTHODES, ETC. Ig5

du principe de la probabilité composée,

fia -+- x) f ( J + j)

sera la probabilité qu’ils vivront tous deux dans x années;

/(« + -*) I r, fib+i-y |

f( a ) JL /(*) J

sera la probabilité qu’ils cesseront d’exister tous deux dans x années^

fia -I- .r i f[b -i-x) [~ /(^4--r) ~l fla-hx)

représenteront respectivement la probabilité que dans x années le premier sera mort et le second vivant, et la probabilité que le second sera mort et le premier vivaut. Si l’on ajoute ces deux expressions, le principe de la probabilité totale nous apprend que leur somme

f(a-\-x) f(b-hx) f{a -+- x) /( b -+- x)

est la probabilité pour que l’un ou l’autre des individus soit mort dans x années; en d’autres termes, l’expression précédente est la probabilité que dans x années il ne restera plus qu’un seul des deux iudividus en question;

f{g -4- A fl b -4- .r) /(a -f- x)f(b -f- x)

est la probabilité que dans x années l’un des deux individus sera en vie ou bien qu’ils seront en vie tous deux, etc.

On pourrait chercher de la même façon la probabilité de la coexistence de trois, quatre, etc. tètes; il faut cepen-

dant ajouter que, si les individus considérés n’étaient pas assujettis à la môme loi de mortalité, il faudrait modifier légèrement les résultats qui précèdent. Considérons, par exemple, deux époux : si l’on admet que la mortalité chez l’homme soit f{x) et chez la femme <p(x), la probabilité de la durée x d’un mariage entre deux époux d’âges a et b sera

Dans certaines questions relatives aux assurances sur la vie, on est conduit à remplacer un groupe d’individus par un seul, qui a la môme probabilité de s’éteindre à une époque donnée que le groupe en question; 011 obtient ainsi, dans bien des cas, une approximation suffisante. Mais étudions cette question de plus près et proposons-nous de trouver une loi de mortalité telle que, étant donné un groupe d’individus, il existe toujours un individu possédant la môme chance de s’éteindre que le groupe tout entier, quel que soit l’instant où l’on considère le groupe et l’individu isolé.

Soient «, ù, c, . . . les âges des individus du groupe ; la probabilité que ce groupe existera dans x années est

f{“) fi b ) /w

En égalant ce produit à la probabilité que l’individu d’âge m

existera a la meme époque ou — y. — r — -, 011 aura 1 équation

qui sert â définir^x) et à calculer m \ /( rt x ) f( b r ) / m -4- x)

1 f( a ) f( b ) fl c ) f[ m )

Cette formule doit subsister par hypothèse, quel que soit x;