CHAPITRE IV. — SUR LES MÉTHODES, ETC. I

donc, en prenant la différentielle logarithmique par rapport à x, on aura encore, quel que soit x,

ou bien, en posant en général

on aura

Cette formule devant avoir lieu, quel que soit x , et pour un groupe de deux individus, par exemple, on aura

et, en prenant x = — m,

Si Ton différence la formule (4) par rapport à .r, et si l’on fait x = — zrc dans le résultat, on a

Posant maintenant « — /w = «, & — m = y, on devra avoir

en même temps

Différentions alors ces deux équations en considérant y

iy8' CALCUL DES PROBABILITÉS,

comme fonction de u, nous aurons

n“)+n*)Tu= O’

et, eti éliminant ^-i

I du

II est facile de voir que cette relation est une identité :

en effet on peut prendre a très-voisin de m — a et m — b

seront alors très-peu différents (si l’on suppose f(u) continue),. et, par suite, uetv seront aussi très-peu différents. On aura donc

0" ( u -t- du ) 0" ( u )

0'(u + du) ~~ YÎV)

c’est-à-dire que

B" lu)

—A est constant :

on peut donc poser

0'(u) = a.ke ~'“ ,

a et À désignant des constantes, et

0(«) = kc~ mm -f- const.;

mais la relation (4) ne peut être satisfaite que si la dernière constante d’intégration est nulle. En effet elle donne

/.<;-«(«+.) -+- ker * '!> * *)

quand on prend m de telle sorte que l’on ait