CHAPITRE IV. — SUR LES METHODES, ETC. I

tandis que, si l’on posait

e~’ a e -«4 j 2 const. = e~* m -+- const.,

on n’aurait pas

e~ -+- e -«(4+*) j const. const. e - "*,

si la dernière constante était différente de zéro. Si l’on rem-

place Ô(u) par la valeur — ■> on en conclut

d'où

fin)

G désignant une nouvelle constante. Cette formule est au fond celle de Gompertz, et l’on voit ainsi qu’une Table de mortalité interpolée, quand cela sera possible, par la formule de Gompertz, jouira de ce précieux avantage de ramener les opérations sur deux tètes à celles sur une seule tète.

Remarques sur la diiiérentiation et sur l’intégration des lonotions empiriques.

Lorsque l’on a déterminé la forme d’une fonction qui exprime la loi d’un phénomène, on a une tendance généralement trop précipitée à opérer sur cette fonction tout à fait empirique les mêmes calculs que si elle était l’qxpression rationnelle des faits; en d’autres termes, il semble que l’on oublie que la forme assignée à cette fonction résulte d’hypothèses successives, et que les coefficients n’ont que des valeurs approchées avec une probabilité plus ou moins grande. Le Calcul intégral s’applique en général assez bien

à la fonction empirique qui exprime la loi du phénomène observé} nous dirons tout à l’heure pourquoi, mais le Calcul différentiel peut conduire à des erreurs considérables. * Supposons qu’il s’agisse d’une Table de mortalité et qu’à l’aide de la formule de Gompertz, par exemple, on ait obtenu une fonction interpolatrice telle, que sa différence avec la fonction réelle tombe au-dessous des limites que le théorème de Bayes assigne à l’erreur de la Table. Si l’on déduit le taux de mortalité de la formule de Gompertz en la diflerentiant, on risque de commettre une erreur à laquelle il semble difficile d’assigner a priori une probabilité quelconque : et, en effet, deux fonctions très-peu différentes peuvent avoir des dérivées dont le rapport peut varier dans une proportion considérable. Il suffit, par exemple, que la différence des deux fonctions soit de la

OC

forme a cos — > où cl désigne un nombre très-petit} la différence de ces deux fonctions sera moindre que a, tandis que la différence de leurs dérivées — - sin pourra de-

venir égale à

Toutefois, si l’on observe que dans une Table les différences premières, secondes, troisièmes, etc., décroissent rapidement, on pourra interpoler, dans une portion de la Table au moins, à l’aide d’une formule parabolique dont les coefficients auront une probabilité connue, et l’on pourra admettre que l’on calcule avec cette probabilité la dérivée de la fonction qui représente la mortalité au moyen de la formule symbolique

où. l’on a supposé, pour simplifier, la différence de la va-