CHAPITRE V. — SUR LES COMPAGNIES d’àSSUHANCES

i° Cette formule secarte peu de la formule ( 2 ) lorsque t est petit $ en effet, la formule (3) peut s’écrire

c -h ac = c r 1 -b ît -h -L e sr .. O

ou, aux termes du second ordre près,

âC = Cit.

2 0 Elle s’écarte peu aussi, pour la même raison, de la formule enseignée dans les lycées

(4) C H- AC = C(l -1- /)"(l H-yv),

où n est le plus grand entier contenu dans t et/da fraction qui, ajoutée à rc, donne t.

3° Son calcul est plus facile par logarithmes que celui des autres formules en usage.

4° Elle est employée par les grands financiers et par les actuaires les plus distingués, tels que M. Charlon (voir son Traité des opérations financières ).

5° Le second membre de cette formule, considéré comme l’ordonnée correspondant à l’abscisse £, est représenté dans ses variations par une courbe continue, tandis que les formules ( 2 ) et (4) représentent les cordes de cette courbe.

6° Enfin elle se trouve justifiée, sinon démontrée, par le raisonnement qui suit : Si l’emprunteur est toujours assuré de trouver les capitaux qui lui sont nécessaires, il payera pour un temps infiniment petit dt un intérêt Cxdt proportionnel au capital prêté et au temps dt : on aura donc

dC = Crdt,

d’où l’on tire

208 calcul des probabilités.

ou, en posant t = i -+- t,

Cr=C 0 (.-+-/)%

C 0 désignant le capital prêté à l’origine du temps et C ce qu’il est devenu au temps t\ i est ce que nous appellerons le taux

Formules fondamentales.

Les Compagnies d’assurances doivent être considérées comme jouant avec le public un jeu à peu près équitable. Je dis à peu près, parce qu’elles doivent nécessairement se réserver un léger avantage dans chaque partie jouée, c’està-dire dans chacune des affaires qu’elles concluent, afin d’obtenir, dans un grand nombre d’épreuves, un bénéfice certain. Dans toutes les questions relatives aux opérations sur la vie humaine dont nous allons nous occuper, nous égalerons l’importance de la somme espérée par la Compagnie à l’importance de la somme espérée par l'assuré} le bénéfice de la Compagnie se trouvera dans la fixation du taux de l’intérêt de l’argent et dans le choix qu elle fera de ses Tables de mortalité. Quelques Compagnies bénéficient en augmentant d’une façon arbitraire les résultats calculés} c’est, à notre avis, une façon de procéder tout à fait absurde et sur laquelle nous aurons du reste à revenir un peu plus loin.

Nous allons établir quelques formules fondamentales, en nous servant de notations que nous conserverons dans tout le courant de ce Chapitre : i désignera toujours le taux annuel, en sorte que i soit l’augmentation de i franc au bout d’un aii} f(x) sera le nombre de survivants à l’âge x,

et alors désignera la probabilité qu’une personne

d’âge x 1 a d’arriver à l’âge x (p. 187).