CHAPITRE V. — SUR LES COMPAGNIES B ASSURANCES

Je résume d’abord dans un petit tableau les formules relatives à la probabilité de la vie humaine, démontrées au Chapitre précédent (p. 187 et 1 94 ) 1 et qui nous seront principalement utiles dans la théorie des assurances :

probabilité qu’une personne d’àge a arrivera à l’âge « + b;

probabilité que deux personnes d’âges a et b ont de vivre encore ensemble n années ;

probabilité que trois personnes d’âges a, 6, c ont de vivre encore ensemble n années ;

probabilité qu’une personne d’âge a mourra avant n années 5

probabilité que deux personnes d’âges a et b mourront toutes deux avant n années 5

/(«-+• «)\ f(b-hn)

probabilité que la personne d’âge b survivra après n années à celle d’âge a ;

/ ' /(«-+- «1 f(b-hn) f(aA-n)f(b-\-n)

AA /(b) * AAAA • ’

probabilité que l’une des deux personnes d’âges a et b sera morte dans n années et l’autre en vie;

iq\ f( a + A A b + n) f{a + n)f(b -+- n)

[ 1 AA Ab) AAAA ’

probabilité que l’une des deux personnes d’âges a et b au moins sera morte dans n années ;

Ceci posé, désignons par Q" la valeur actuelle de i franc, que l’on ne doit payer que si une personne d’âge a vit au bout de n années, et, par valeur actuelle , il va sans dire que nous désignons l’importance de la somme espérée à la mort de la personne en question.

La valeur de Q" n’est autre chose que l’espérance mathématique du franc payable dans n années, si la personne d’âge a est en vie alors. Or, si cette somme n’était soumise à aucune éventualité, elle vaudrait ( i -f- i)~"; en la multipliant par la probabilité que la personne vivra

dans n années, on obtiendra la valeur cherchée : donc