CHAPITRE Y. — SUR IBS COMPAGNIES D’ASSURANCES
(i •+■ i)~ n par la probabilité (2) : on aura donc
QÏa — (* +
La valeur Q n abc de x franc payable dans n années, si trois personnes d’âges a, b , c sont en vie alors, est le produit de (1 + i)“" par la probabilité ( 3 ), ou
Qnic = (H- /)-*
A«)f{b)Ac)
La valeur actuelle d’une somme de 1 franc payable dans n années, si une personne d’âge b survit au bout de ces n années à une personne d’âge a, sera (1 -I- i)~ B multiplié par la probabilité ( 6 ), ou
ce que l’on peut encore écrire
Qï-Q" 4 .
La valeur actuelle d’une somme de 1 franc payable dans n années, si l’une quelconque des deux personnes d’âges a, b est morte et si l’autre est en vie, est
Q,< -+- Q2 — 2 Qa6*
La valeur actuelle d'une somme de 1 franc payable dans n années, si deux personnes d’âges a et b sont mortes toutes deux, ou si l’une des deux est en vie, est
Q” + Q" — Qui»
Des annuités viagères.
On donne le nom d’annuités viagères à une série de sommes payables annuellement, tant qu’une ou plusieurs personnes sont en vie :
i° Calculons d’abord la valeur de l’annuité viagère de i franc sur une tète d’âge a. Si l’on désigne par C„ cette valeur, elle sera évidemment égale à la somme des espérances mathématiques de i franc payable au bout d’un an, deux ans, trois ans, etc., si la personne en question est en vie au bout d’un, deux, trois ans, etc. On a donc, en conservant les notations du paragraphe précédent,
la suite qui entre dans le second membre devant être prolongée jusqu’à ce que l’on rencontre un terme nul provenant de ce que, au bout d’un certain temps, toutes les personnes d’âges a seront certainement mortes. Si l’on désigne par w l’âge le plus avancé auquel un homme puisse arriver, le dernier terme de la suite sera Q" -a .
Remarque. — Si l’annuité en question était payable d’avance, il faudrait encore ajouter au second membre de la formule (i) le franc payable au commencement de la première année ; ainsi l’annuité payable d’avance est H-C 0 .
a° Calculons maintenant l’annuité viagère sur deux tètes C b4 , c’est-à-dire la valeur d’une série de sommes égales à i franc, payables tant que deux personnes d’âges a et b seront en vie; la valeur de cette annuité est la somme des espérances mathématiques Q ' nb , Q’ A , Q b6 , ... de i franc, que l’on obtient à la fin de chaque année si les deux personnes en question sont en vie. On a donc
( 2 ) C„4 = Qà* -+- Qâs -t- Q,îi
