CHAPITRE V. — SCR LES COMPAGNIES D’ASSURANCES. 2l

La formule (A) peut alors s’écrire

ou bien ou bien enfin

C«+i — 7T7 (Qâ 4- Qu -+-•••)>

Q<! Co+i — C„ — Q« ,

formule que l’on aurait pu écrire immédiatement, en observant que l’annuité sur une tête d’âge a est une annuité sur une tôte d’âge a 4- 1 payable d’avance, ou i + C a+1 ramenée à ce qu’elle serait un an avant le premier versement, à l’aide du multiplicateur Q'. De la formule précédente on tire

i — Qw — i (i -4- Cw), a (i 4" C*»— i)i • • • ,

et l’on peut faire ainsi le calcul de proche en proche des quantités C a , quand on a calculé les quantités Q a . Quant à C„, il est évidemment nul, en sorte que

C«-i Qù— i»

Les quantités C a4 se calculent d’une façon analogue; ainsi l’on a

( B ) Ca+l, 6 -h Qri-t-i, Q/i+i.i+i * • ■ •

Or on a

6+, ~ Au TTjTïbTT) (I +

(i + /)-=QS; 4 i : Qd*-

216 calcul des probabilités.

La formule (B) devient alors

ou bien

Cfl-t-l, 6-f-l

C u 6 (l — 1— C fl 4; f

formule analogue à l’équation (5) et qui sert à calculer C fl6 en fonction de C n+ 1 ) i +1 ; on pourra donc dresser une Table de C rti , en observant que C wA = o, quel que soit /r, et en calculant une Table des nombres Q£ rt : on aurait de meme

L abc ( I ft - Ca-h i , /;•+■! . c-f-l ) Qàic »

et ainsi de suite.

Les méthodes précédentes sont excellentes pour construire des tarifs, mais elles présentent souvent des inconvénients, auxquels le paragraphe suivant a surtout pour but d’obvier.

Calcul rapide des annuités viagères.

On distingue plusieurs espèces d’annuités : i° l’annuité payable par année, ou l’annuité proprement dite, que nous avons appris à calculer au paragraphe précédent 5 2 0 l’annuité payable par semestre, par trimestre, par mois, etc. ; 3° l’annuité continue.

Une annuité est dite payable par semestre et, en général, par fractions ^ d’année, lorsqu’elle se touche par moitiés

ou, en général, par fractions de

-> chaque semestre ou

chaque fraction i d’année. Ainsi, par exemple, une annuité

CHANTRE V. — SUR IE 8 COMPAGNIES d’àSSURANCBS. 21 7

de 12 francs, payable par mois, se compose de sommes égales à 1 franc, payables tous les mois.

L’annuité continue est une annuité payable par portions infiniment petites à des intervalles de temps infiniment petits. La considération de l’annuité continue est, comme nous le verrons, de la plus haute importance. Nous désignerons par ‘C a l’annuité de i franc, payable à des intervalles égaux à t et reposant sur une tête d’âge a ; ‘C sera l’annuité payable à des intervalles égaux à t et reposant sur deux tètes d’âges a et &, etc. En employant cette notation, les annuités continues de i franc seront °C„, °C flt ,...; les annuités ordinaires seront l C a , 'C**,. ...

Calculons 'C„ ; en raisonnant comme nous l’avons fait plus haut pour l’annuité ordinaire, il est facile de voir que l’on a

Si, dans cette formule, on fait tendre t vers zéro, on trouve

i)~‘dx ;

on aurait de même

(l -r i)~ x dj:,

et ainsi de suite.

Il est bien difficile de donner des règles précises pour le calcul des quantités C„, °C a , ‘C„,. . ., dont on a cependant, à chaque instant, besoin. Voici cependant quelques indications générales. Lorsque l’on aura la Table de mortalité

sur laquelle on doit opérer, on commencera par Y ajuster, c’est-à-dire par régulariser ses indications, ainsi que nous avons appris à le faire au Chapitre précédent. On observera ensuite que, si l’on construit la courbe, dont l’ordonnée

est

(i 4- i)“ x , la quantité °C a sera l’aire de cette

courbe et *0, sera l’aire des rectangles inscrits dans cette courbe, ayant pour base la quantité t. Deux procédés s’offriront alors pour effectuer le calcul de °C a : i° les méthodes de quadrature, et il conviendra de donner la préférence à celle de Poncelet, qui seule est capable de faire connaître une limite de l’erreur commise dans les calculs ; 2 ° les méthodes d’interpolation. Ces dernières méthodes, discutées avec soin, feront connaître sur quel degré d’exactitude on peut compter, en remplaçant la Table de mortalité par la fonction interpolatrice. Il conviendra, pour faciliter les calculs, de poser

f( jc) = Ae ai -f- be$ x -f- C<? ax -f- . . . .

Du reste, la loi de Gompertz, qui est assez bien vérifiée sur certaines Tables, semble indiquer tout naturellement cette forme pour la fonction f(x ). En adoptant ainsi la forme exponentielle, l’intégration de f(a + x)(i + i)“ x devient très-simple et le calcul de °C rt , de °C fl j,. . . devient très-facile pour un taux quelconque; les calculs des annuités *C„,.. . se réduisent aussi à des sommations de progressions géométriques et il devient inutile de dresser toute une Table d’annuités intermédiaires pour calculer celle dont on a besoin.

Lorsque l’on n’a pas besoin d’une très-grande exactitude, on peut poser, en vertu de la formule d’Euler, qui sert à exprimer les sommes, au moyen des intégrales et vice versa;