CHAPITRE V . — SCR LES COMPAGNIES D’ ASSURANCES

ainsi la probabilité que la tête d’àge a s’éteindra dans le laps de temps considéré dx est

f(a- f- jr) f f[a ■+■ r. -f- rf.r)l eif(a-4-x)

En multipliant cette probabilité par la valeur actuelle (i-f-i) - * de i franc, on aura l’espérance mathématique relative à l’événement dont on vient de calculer la probabilité; enfin en ajoutant toutes les espérances analogues relatives aux valeurs de .r, comprises entre zéro et la limite extrême de la vie, on aura

Plusieurs méthodes peuvent être employées dans l’évaluation de P a ; la meilleure consiste à intégrer par parties, ce qui donne

ft

ou bien, en développant log(i-f-t') par la formule i

L’intégrale qui figure dans cette formule est l’annuité continue °C a , en sorte que l’on a

ou

= i — °C«log(i + /).

Quelques Compagnies appliquent la formule approchée (3) P a = i-,C a ,

et, chose monstrueuse! elles calculent P rt avec quatre chiffres! quelquefois avec huit! L’erreur relative est à peu

près — C a . En prenant C a = io, terme moyen, et i = o,o4,

on trouve pour cette erreur environ

r ioo

Il est bon toutefois de se rendre compte de ce que représente le second membre de la formule (3), et dç voir dans quelles limites le public ou la Compagnie doit se considérer comme lésé par un contrat d’assurance sur la vie. La quantité P rt est la prime unique que Ton devrait payer à la Compagnie pour obtenir i franc le jour du décès de la tête d’âge a\ cherchons la prime que l’on devrait payer pour obtenir i franc, non plus le jour même du décès de la tête a, mais à la fin de l’année où a lieu le décès.

La probabilité que le décès aura lieu après x années, mais avant x -4 - 1 années, est, en vertu du principe de la probabilité composée,

f(a) [* f{a-hx) J ° U f(a)

L’espérance mathématique correspondante est

f(a-hx)

et, par suite, la prime à payer sera

,t\ „ V f( a + x )— /(a-hx + i)

rrîn