que d mourra dans le laps de

temps dx. On trouverait pour la seconde probabilité partielle une expression analogue : on a donc, en négligeant les quantités du second ordre,

r fia -J- .r d.f[b H- x) fb H- .r) d.f(a x) 1

T - \~W, 7(6} " 7ÏT ~f{°) J ’ •

ou

bien

La formule (6) devient ainsi

d[f(a 4- Jc)f[b 4-x)](l4- /)'

ou bien, en intégrant par parties,

fia 4- x) f[ b 4-

- (i 4- f]r* lo°y i

c’est-à-dire

P«i=i- log(i 4- i, # C a6 .

Telle est la véritable valeur de P a6 , que l’on remplace parfois par i — iC n £, en commettant ainsi une erreur qui atteint le centième. Les nombres P rtfi , pas plus que les nombres P a , ne doivent donc être calculés avec plus de deux décimales quand on fait usage de la formule trèsinexacte

P ub — — 1 i •

O a trouverait d’uue façon analogue la somme à payer pour obtenir i franc au premier décès de 3, 4j • ■ • personnes.

Désignons enfin par la somme qu’il faudrait payer

pour obtenir i franc au décès de la tète B si la tète A lui survit, les âges respectifs de B et de A étant toujours b et a.

Nous avons vu tout à l’heure que la probabilité que B mourra dans l’intervalle de temps dx et que A vivra encore à cette époque était

L’espérance mathématique correspondant à cette probabilité s’obtiendra en la multipliant par (i-f-i)~ x , et l’on aura, par suite,

fi a + x) /'(b -t-.r)

Pour évaluer cette intégrale, nous partirons de la formule qui donne l’annuité continue, à savoir :

f' a fi b x )

(l -4- i)~*dx.

On en déduit

Ab) *C«4 =jH +*)(» + i)~’dx,

et, en différentiant par rapport à &,

y b [/(*)*C-] =jT“ +