r Jo

Si l’on remplace l’intégrale bien connue qui figure dans cette

équation par sa valeur - y 7 r, on a enfin

lim = 1 .

On voit donc que, si n est très-grand, n n e~ n \j2Ttn est une valeur approchée de i.2,3...tz. Je vais maintenant, en suivant une analyse développée par M. Serret, montrer que cette valeur est extrêmement approchée, lors meme que

n n’est pas très-grand; posons

il en résulte

n m e~* \iiTtn

ou, en prenant les logarithmes népériens,

logÿ(rt) logtp(« -+- 1) = — « log ^i-f- ^ log

d’où, changeant n en n 4- 1 , . . . ,

i + - 4-ij

logÿ(/A -f- l) log<p(/i •+■ 2)

— —(n+ I ) log ( I -4 *— ) — - log ( I H 1 — ) H- l ,

log © ( n -4- 2 ) — log o ( n -+- 3 )

~ — ( 71 -f- 2) log ( H ) log ( 1 -f 1 ) -h ! ,

En ajoutant ces formules et en observant que log^(«-j-m) tend vers zéro pour m — 00 , en vertu de l’équation (1), il vient

log <j/ ( n ) = — lim

Si nous développons les logarithmes par la formule