ri"e~ n \Jntn e u(n

ü désignant la quantité

Cette quantité cr est inférieure à son premier terme, lequel est lui-même inférieur, comme l’on sait, à

12 \ti 2 n 4 n

ou a

Gif’

donc on pourra poser

.2.3 . . n = n n e~ m \j 2 -nn ( 1 -b £ ),

et la quantité e sera inférieure àr.- — j — { ~ | -f- .... de 1 b n 1 \bn J

sorte que, si n est assez grand, l’erreur relative sera à peu

près g— • Cette erreur est tout à fait insignifiante dans les

applications; on peut du reste l’évaluer au moyen déjà formule (3).

La formule (4) est surtout utile pour évaluer le nombre des combinaisons de m objets pris n à n quand m et n sont très-grands. On a en eii’et, à peu près,

m ( m — /?)!«! «"(m — n)'“ " y 2 ir«(/w — «)

La quantité A" m s’évaluerait d’une façon analogue.

Des combinaisons dans lesquelles entrent des objets de même nature et de nature diiférente.

Problème I. — Trouver le nombre de manières distinctes dont on peut ranger m objets dont <x sont identiques à a.

Les objets en question pourraient se ranger de P,„ = m ! manières différentes s’ils étaient tous différents; mais comme a d’entre eux sont identiques à a, il est clair que si l’on considère l’un des groupes et que si l’on y permute les objets a, on obtiendra P e ou«! résultats identiques ; mettant de côté ce groupe et ceux que l’on eu déduit par les permutations des objets a, on pourra répéter la même opération sur un second groupe, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on les ait tous mis de côté; il est clair que l’on aura ainsi

formé — systèmes de groupes identiques. Le nombre de