CHAPITRE Y. — SUR LES COMPAGNIES D’aSSURANCES

la valeur de la rente de survie au profit de l’autre tête est

enfin le prix de la rente payable au premier décès s’obtient en faisant simultanément les deux contrats précédents : son prix est donc

C ( + Ci — 2 C ai»

5° Une rente sur deux tètes À et B, réversible en totalité ou en partie sur l’une des têtes, est une rente que l’on continue à servir en totalité ou en partie à l’une au décès de l’autre.

Pour avoir le prix d’une rente de i franc sur deux tètes d’âges a et £>, réversible pour la fraction p au profit de la première tète, il faut observer que la Compagnie se trouve dans le même état que si elle payait la rente p viagère à la tête d’âge a et la rente i — p tant que les deux têtes existent ensemble. Ou a donc pour le prix cherché

pC« -+- (l — pjCai.

Cette quantité est aussi égale à une rente de i franc pendant l’existence des deux tètes dont le prix est C„i, augmenté d’une rente de survie égale à p dont le prix est p(C a — C„i) . Le prix de la rente au profit de la tète d’âge b serait

P Ci -+- (l — p)C„J.

Enfin le prix de la rente, réversible au profit de l'une ou l’autre tète, s’obtiendra en observant que la Compagnie qui sert la rente se trouve dans le môme état que si elle devait payer i franc pendant l’existence commune, et uue rente de survie de p francs au profit de l’un quelconque des survivants; on doit donc donner à la Compagnie

CaA p ( C« -f- Ci — 2 C 0 i ’ •

Si la rente est réversible en totalité, on a p = i , et l’expression précédente devient

6° Les rentes réversibles peuvent être différées de n années ou être temporaires : le principe de la composition des contrats permettra toujours d’en calculer facilement la valeur; ainsi la rente réversible en totalité et différée de n années a pour valeur C" -f- Q — C,V . . .

Calcul des primes annuelles.

Lorsque l’on a déterminé le prix d’un contrat, en d’autres termes, lorsque l’on connaît la prime unique à payer pour se procurer un certain avantage, on peut se proposer de déterminer la valeur de la prime annuelle qu’il faudrait payer pour obtenir le même avantage. Plusieurs cas peuvent se présenter.

i° On demande de calculer la prime annuelle x qu’il faudrait payer , pendant toute la vie d’une personne d’âge a , pour remplacer une prime unique \ payable immédiate m en t .

Cette prime annuelle x n'est autre chose qu’une annuité viagère payable d’avance : sa valeur est donc x (î -+- C a ) et, par suite, on a

V=.r(i ou .*==— - — •

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2 ° On demande la prime temporaire qu’il faudrait payer pendant n années , à condition qu’une personne d’âge a soit en vie , pour remplacer une prime unique V payable immédiatement.