CHAPITRE V. — SUR LES COMPAGNIES d’aSSURANCES
On veut assurer x franc au décès d'une personne d'dge a, mais en réservant toutefois à cette personne la facilité de toucher l’intérêt des primes qu elle verse au taux B moindre que i. On demande de calculer les primes uniques et annuelles relatives à cette opération.
Pour calculer la prime annuelle, désignons-la par y : la Compagnie reçoit y[i C a ), l’annuité étant payable d’avance-, mais elle donne : i° i franc dont la valeur est P„ ; 2 ° l’intérêt des primes versées, c’est-à-dire la valeur d’une rente progressive d’abord de 6y, puis de 2 $ y, de 3 8y , .... En désignant cette rente par B(J a , on a
7(1 -+• c„; — P„ -t- 9 C' fl r.
d’où
Quant à ( , sa valeur est facile à calculer quand on a une Table de C a ; on a évidemment
j , ,, fias- il /'a 4-2)
ou bien
ffa- x- a).
on a du reste
donc
On peut ainsi calculer les C' a de proche en proche.
Voici un autre moyen de calculer C a et qui est plus rapide quand on a une Table des nombres EE a . On a
ou bien, remplaçant C rt+fl par sa valeur en E et D, ainsi
fa - 4 - n) . „
‘i ue "7FT (,H '° ’
La prime unique est plus facile à calculer*, en la désignant par x, la Compagnie paye une somme qui vaut P rt et une série de sommes égales à ôx dont la valeur est 0 C a x : on doit donc avoir
P a -f- G C a .r — x t - — ~tt •
Si l’on prend 6 peu près égal à i on a
On conçoit, en effet, que l’assuré jouit du bénéfice de la continuité dont ne jouit pas la Compagnie.
: i, on a à peu près x = i } car P rt est à iC a , ce qui doit être. Rigoureusement,
CnAPITRE y. — SUR LES COMPAGNIES D’ASSUF ANCES. 'îi']
Théorie du plein.
On appelle plein d’une assurance la somme maxima qu’un assureur peut accepter sur des risques donnés, sans compromettre ses intérêts; nous allons voir que le plein existe, et nous indiquerons la manière de le calculer approximativement.
Soient O,, Oj, . . . , O, les diverses affaires d’une Compagnie, soient p it , p it , p iz , . . . les probabilités que la Compagnie payera sur l’affaire O; des sinistres dont les prix, ramenés à leurs valeurs actuelles, soient respectivement a t 1?
/!,•*, « <8 , Quelques-unes des quantités p ou a pourront
être censées nulles, et Hp devra toujours être égal à l'unité. Si l’on forme alors le produit
(i) /— 2p t j 2ptj
le terme en dans ce produit, aura pour coefficient
la probabilité P que la Compagnie payera à ses assurés des indemnités dont la valeur totale atteindra A. Si A était entier, on pourrait poser
Or on pourra toujours supposer A entier, si l’on prend l’unité monétaire infiniment petite, ce que nous ferons, sauf à revenir plus tard à l’unité régulière. Pour calculer la valeur de P, nous mettrons f sous la forme exponentielle, et nous aurons d’abord, au lieu de la formule (i) en observant que la somme des probabilités p ix , /? l8 , . . .
248 calcul des probabilités.
est égale à l’uni té,
f — -4- 0 y/ — i ai J
iHïy.to+j-
Nous poserons
( 3 ) 1 pij iiij - - x h I pij afj “ Zi ;
Xi désigne, comme l’on voit, l’espérance de l’assuré 0 4 , mais non sa prime que l’on prend effectivement un peu plus forte. Nous pourrons alors écrire
et, par suite,
en négligeant les termes en 0 S -, d’où l’on conclut
Zx v^T- -I(r-.vï)
La formule ( i ) devient alors
cos (A —
'2,jc)QdQ,
ou, remplaçant les limites — n et -{- ît par — oo et -f- ,
ce qui n’altère pas beaucoup la valeur de P (p. 34),
