CHAPITRE Y. — SUR LES COMPAGNIES d’àSSURàNCKS

Si l’on intègre P en faisant varier A depuis T.x — / jusqu’à Hx /, on aura la probabilité que la Compagnie payera aux assurés une somme comprise entre Hx — l et Ijc-I- l. On trouvera ainsi, pour cette probabilité,

xi idu\

en posant

y TT J o

cette expression devient, par un changement de variable facile à deviner,

y/22(z — .r! 1 ) et il suffit, comme on le sait, de poser

ou / — v y/ 2 2 { z — .r 1 ),

v étant voisin de 3, pour que 0 soit très-voisin de l’unité : il y aura donc, dans ces circonstances, presque la certitude que la Compagnie payera l’indemnité

où Ton a e<v^ 2 i(z — .r 2 ).

La plus grande somme que pourra payer la Compagnie est

Désignons î^aintenant par b ix , & lS ,. . . les primes que la Compagnie est a meme de recevoir sur l’affaire O, avec les

25o calcul des probabilités.

probabilités ÿ.j, q j2 , .... Si nous posons

■2 * q îj bij . — y j, 2q,j b ij — B, 1 ,

on démontrerait, comme plus haut, que le bénéfice minimum que la Compagnie est en droit d’attendre est trèsprobablement

et, par suite, le gain net de la Compagnie a pour valeur actuelle

Pour qu’une nouvelle affaire il ne soit pas désavantageuse, . il faudra qu’en désignant par les valeurs de s, u

relatives à H, ces quantités soient telles, que l’accroissement de (5) dû à la nouvelle affaire ne soit pas négatif.

2/ -4- >5 — 2.r — Ç-f-vj y/2 [2j z — x 2 ) -h Ç — ï 2 ]

devra donc être plus grand que (5). En considérant alors £, >3, £, u comme des infiniment petits, on aura

Telle est la formule qui servira à décider si l’on doit oui ou non accepter l’affaire O. Pour montrer comment on peut faire usage de cette formule , supposons qu’il ne s’agisse que d’assurances vie entière à prime unique : le bénéfice de la Compagnie se composera de la valeur actuelle des primes versées, et y? sera la prime unique de l’assurance û ; cette prime n’est pas égale à £, espérance de l’assuré; la

(6) Yi — £>>v