CHAPITRE I. — ANALYSE COMBINATOIRE. l
groupes distincts que l’on peut former avec m objets dont
a sont identiques à a est donc — f •
Problème IL — Trouver le nombre de manières distinctes dont on peut ranger m objets dont a sont identiques à a , dont (3 sont identiques à b , dont y sont identiques à c, etc .
Supposons d’abord tous les objets distincts, il y aura P,„ manières de les ranger } nous avons vu que, si l’on en supposait a identiques à rt, les P,„ groupes, d'abord différents,
Pm
se partageaient en ~ systèmes de groupes identiques *, par
suite, nous n’avons plus en définitive que ~ groupes dis-
* oc
tincts. Si nous supposons maintenant que p objets deviennent identiques à ô, en permutant dans l’un des nouveaux groupes les objets ô, on obtiendra P<$ groupes, que l’on
pourra mettre de coté, et faisant partie des ■— groupes que
nous avons considérés comme seuls distincts. En opérant de la même façon sur l’un des groupes que l’on n’a pas mis de côté, on obtiendra encore P ? résultats identiques, et ainsi de suite 5 donc, en définitive, le nombre des résultats distincts, lorsque a objets sont identiques à a et que |3 objets
sont identiques à Z», est
ou — r— ; en supposant main-
tenant que y objets deviennent identiques à c, on trouvera,
pour le nombre des résultats distincts, - m - ou ----- et L 1 a P T a! p! 7 !
ainsi de suite.
On peut encore arriver à ce résultat comme il suit : considérons le produit
dans lequel le nombre des facteurs est le terme général de ce produit se composera de a facteurs *z, de |3 facteurs de A facteurs /, de telle sorte que l’on ait
ex — |— |3 ■+• - (— . . . H- a zr: fïl .
Si l’on suppose
tous les termes où entrent a facteurs a, /3 facteurs b , etc., deviennent identiques et égaux à CT,...., qui se trouvera ainsi répété autant de fois que Ton peut, sur les lettres a, en prendre m, et les arranger de manière que a
soient identiques à a, f 3 identiques à &, etc. Ainsi le coefficient de a*^PcT. . . l x dans (a -+- b -+- c -b . . . -+- l) m est le nombre de manières dont on peut ranger m objets, dont a sont identiques à < 7 , etc.; il ne reste plus qu’à trouver ce
• Ttl ! •
coefficient, dont la valeur est bien ■ , r t » ainsi qu il a
a! jS!. .a! 1
été prouvé en Algèbre.
Lorsque ra, or, /3, . . . sont de grands nombres, la formule de Stirling fera connaître le résultat avec une approximation suffisante, en la bornant à son premier terme pour l’évaluation de chacun des facteurs a ! (3 ! . . . m !
Problème III. — Trouver le nombre de groupes différents que Von peut former en prenant n lettres sur s lettres données f les s lettres se composant de a lettres a , (3 lettres y lettres c, . . . , A lettres l.
Nous regardons comme identiques deux groupes contenant le même nombre de lettres «, le même nombre de lettres &, etc. Supposons d’abord les s lettres considérées distinctes, le nombre des groupes contenant n lettres sera C”; supposons maintenant que a lettres deviennent égales à a,
