CHAPITRE I. — ANALYSE COMBINATOIRE

les combinaisons distinctes seront d’abord les combinaisons qui ne contiennent pas a et qui sont les combinaisons de s — a lettres n à n au nombre de puis les combinai-

sons contenant a une fois ; ces combinaisons s’obtiennent en ajoutant la lettre a aux combinaisons de s — a lettres prises n — i an — i ; elles sont au nombre de etc.}

le nombre des groupes distincts que l’on pourra former, si a lettres deviennent égales à a, sera donc

cszi

en arrêtant cette suite dès que l’exposant de C devient inférieur à zéro (s’il y a lieu).

Si non-seulement a. lettres deviennent égales à a, mais encore si (3 lettres deviennent égales à b, on trouvera le nombre des groupes distincts en observant que C" a ? est le nombre des groupes où n’entrent ni a ni b } que, en général, si Q i}i indique le nombre des groupes où a entre i fois , et b j fois, les groupes en question se composeront des combinaisons de s — a — (3 lettres prises n — i — j an — i — y, a la suite desquelles on écrit i lettres a et j lettres b } donc

Le nombre cherché sera donc

va . v r n — * ~ /

■*-< a jj ^

où l’on devra faire varier i et j de zéro à a et de zéro a (3, eh convenant de faire CjJ = o toutes les fois que q <0.

On voit sans peine comment on étendrait cette solution au cas général.

Introduction à la théorie des séries trigonométriques.

Daniel Bernoulli, dans l’étude du mouvement des cordes vibrantes, a été conduit à représenter certaines fonctions au moyen de séries procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples d’un meme arc. Euler, en s'occupant de la même question, a donné l’expression des coefficients de ces séries; il est juste de dire, toutefois, que d’Alembert avait déjà indiqué aux géomètres la manière de résoudre cette question en montrant comment on pouvait trouver les

coefficients du développement de (i -h a cosx -h a*) % ordonné suivant les cosinus des multiples de x. Plus tard, Lagrange fit connaître une formule toute semblable à celle d’Euler, en généralisant sa méthode d’interpolation. Enfin Fourier, à propos de ses recherches sur la chaleur, donna une extension très-grande à la théorie des séries trigonométriques-, mais c’est à Dirichlet que l’on doit les premiers raisonnements rigoureux qui aient fixé le sens des formules découvertes par les géomètres que nous venons de citer. Cauchy, en s’aidant du calcul des résidus, a donné des formules très-générales qui lui ont permis d’aller encore beaucoup plus loin dans cette voie. Nous allons ici présenter la méthode que Dirichlet a fait connaître dans le Journal de C relie, t. IV, p. i6t).

Désignons par f(x) une fonction quelconque de x assujettie à être finie entre les limites a et b de x ; nous la supposerons, déplus, positive et continue; du reste, sa dérivée pourra être infinie ou indéterminée, enfin elle pourra être discontinue aux limites a et b. Cherchons la valeur de l’intégrale

sin w r

— — ' CI JT ^

sin a