CHAPITRE I

ANALYSE COMBINATOIRE.

\ désignant un nombre compris entre a et a + s. Du reste, a étant de la forme À"7T, k désignant un nombre entier, on peut poser x = a -4- 0, et l’on a

1 sinw'o -+- A) sin^fl -4- a)

Si a est égal à zéro, on aura

sin <ufl — — - d 9 .

sinfl

Cette formule aura encore lieu si w est un nombre impair indéfiniment croissant-, nous nous placerons dans cette dernière hypothèse qui se trouve réalisée dans la pratique. Or, la limite e étant très-petite, sinô peut être remplacé par 6 sous le signe f 5 il suffit, pour l’exactitude, d’écrire

n désignant un arc compris entre zéro et e, mais sans qu’il soit nécessaire de reprendre des raisonnements déjà faits tout à l’heure, il est facile de voir que

sinwfl

est nul pour w = 00 ; on peut donc écrire et, si Ton observe que l’intégrale

r œ si

Jo

sin wfl ,

est égale à quel que soit o>, on aura

rr

Le résultat auquel nous venons d’arriver est applicable évidemment à la limite b.

On peut déduire de là les conséquences qui suivent : i° Quel que soit co, pourvu qu’il augmente indéfiniment,

sin w t

sin.r

tend vers zéro si a et b ne comprennent pas entre eux de multiples de 7T. Si a est nul, on a

enfin, si a et b sont de signes contraires, mais sont moindres que 7T en valeur absolue, "on a

en effet l’intégrale V peut se décomposer en deux autres

ayant la limite commune zéro, et toutes deux égales à o).

2 ° Si oo désigne un nombre impair infini, V est nul toutes les fois que a et b ne comprennent pas entre eux de

multiple de tt; V est égal à -f[a) si a est multiple de tt,

TC

ou à -f{b) si b est multiple de 7r, b — a restant inférieur

à 7T. V est égal à nf(c) si a et b comprennent un, et un seul multiple de tt, désigné par c. En effet l’intégrale V peut se partager en deux autres ayant pour limites c, et,

par suite, ayant chacune pour valeur enfin, si a et b

ANALYSE COMBINATOIRE.