CHAPITRE i. — ANALYSE COMBINATOIRE
comprennent entre eux les multiples c n Cj, c s ,... de rc, on a
et il faut augmenter le second membre de -f(a) ou de
TT
f(b) si a cl b sont multiples de 7r.
Il est à remarquer que rien ne suppose dans nos raisonnements la fonction f continue } il suffit qu’elle ne soit pas sans cesse discontinue } si, par exemple, f(x ) était discontinue pour x = c, on pourrait écrire
/(*) dx
sm.r
■ I . . .dr 1
et l’on conclurait de là que, si c n’est pas multiple de 7r, la discontinuité de f(x) ne modifie en rien la valeur donnée plus haut de V ; si c est multiple de 7r et si l’on désigne par J\ (c) et f t (c) les deux valeurs de f(x) pour x = c, le* terme f(c) de la formule (i) devra être remplacé par
de sorte que la formule (i) peut encore s’écrire V = - [/(«) ) -h/^r, ) -f-/,(c 2 ) -+-/ 2 (c,) -f- . . . -hf( 6)],
fi[c) et J\(c) devenant des symboles identiques &f(c ), si f(x) est continu pour x = c, et f(a),f(b) devant être remplacés par zéro, si a et b ne sont pas multiples de tt. Enfin les conclusions précédentes s’appliquent encore au
cas où f(x) serait de la forme <p(.r) -h ^(.r) y/ — i, car elles s’appliquent séparément àcp(;r)età^(.r).
Théorie des séries trigonométriques.
Nous avons vu, au § I de ce Chapitre, que, la fonction f(x) étant développable en série procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de l’arc .r, ce développement était de la forme suivante :
C r, \ , COS 2J
j / (.rj cosJTÆr H -- — j
j f[r) COS 2 xdx -4- ...
C fr \ sin 2 x
1 J [.t) sin.rflx -f I
f f[x) sina-rr/x
les limites étant a et 2?: H- a pour toutes les intégrales. Cette formule peut se transformer en une autre plus simple si l’on fait entrer sous le signe J les facteurs cosjt, cos 2 x, . . . , sinx, sin22?5 mais pour cela il faut changer, pour éviter toute confusion, la lettre par rapport à laquelle * on intègre; nous la remplacerons par £, et nous aurons
f(x) — J' j /(?) COS.T COS<;
de
- J' f{%) sin.r sin ldar-\- . . .
ou bien encore
/(■*) = r- f/UK-t - 1 f/(ç) cos (?-*)<*
-t ~ ~ J /(Ç)cos2(Ç — .r)</Ç -l-
Mais jusqu’ici cette formule ne peut avoir de valeur que si l’on sait d’avance que le développement de f (x) est pos-
