CHAPITRE I

ANALYSE COMBINATOIRE.

sible sous la forme d’une série trigonométrique. On peut alors se proposer de chercher la valeur du second membre de la formule précédente lorsque f (x ) est une fonction quelconque, et l’on peut y parvenir à l’aide des considérations suivantes. Pour plus de généralité, nous supposerons aux intégrales des limites arbitraires a et è, et nous poserons

en limitant pour le moment la série à ses premiers termes, afin de n’avoir point à nous embarrasser des questions de convergence. Nous pouvons écrire comme il suit la formule précédente :

L W n =- ( f(X) T- -hCOS(S — x) -f-coS2(E— x)-\- ...

I 4-COS7î(£ — x) I

la quantité écrite entre crochets peut être remplacée par

sin( 2 * -4- i)

2sm

ce qu’il est facile de prouver en observant que, en général,

h cos« 4- cos 2 ci -f- cos na

est égal à

(e~ na V'-‘ -h $-(»•-» W-* h- i 4- 4- 4 ...1- e*°v-‘

ou, en «regardant cette expression comme une progression géométrique, à

1 ^(n+.)o N /'-7 e -naJ~\ , e ("+ j) fl V 1 * __ |) a

1 sin(« H-

2 sinÿü

on pourra donc écrire l’équation (i) comme il suit :

sin ( 2 n -h i)

sin

rfç;

ou bien, en posant \ ~ x -h 2 f,

__ r 1 T -, . sin(2« -+- i)f

W„ — - | / x -h 2*) — . dt.

n .1 „ „ sinf

En vertu de ce qui a été dit au § précédent, si l’on fait

n = oo , la valeur de W„ s’obtiendra en ajoutant les valeurs

que prend f (x -f- aî) ; quand on y remplace t par les mul-

tiples de 7T, compris entre et ? et si ou

b — or #

— - — - sont des multiples de 7r, il faut diviser par 2 les résultats de la substitution relatifs à ces limites.

fl f) jj

Supposons que et comprennent entre eux

les multiples c t , c 2 , . . . , c, de 7r, on aura

On