CHAPITRE I

ANALYSE COMBINATOIRE.

et, par suite, d’après le théorème que nous venons de rappeler,

lim W„ = /(x - 4 - 2c { ) -f-/(x -h 2 c,) -f- . . . -f- 2 c,),

ou, plus généralement,

limW n = - f/,(x H- 2a) - 4 -/,(x - 4 - 2 d.) - 4 -/ 2 (x -h 2 c ( )

si

sente des discontinuités.

Supposons, en particulier,

sont multiples de rr et si la fonction pré-

Cette formule est un cas particulier de (B); c’est celui où c t = o et où il n’existe pas d’autres multiples de/ir entre

et : dans ce cas on a

limW n =/(x), si f (x) est continu, et

limW„ = -[/, (x) -+-/»(*)]»

si f(x) est discontinu *, si x est égal à a ou à on a seulement

limW„ — -f(a) ou - /(b);

si b = a - 4 - 2 TT, on a, pour x = <2,

limW„ - f(a ) -4- -/(<2 -4- 2 TT ).

Si l’on se reporte alors à la formule (1), en l’écrivant

w„=— f /(?)</? H- - f /(Ç)cos (? — *)«$ + ...

-+- - / /(Ç)COS n{l — X)dt,

et si l’on y fait n == oo , il vient

(2) J* /(Ç)cosw(Ç —

pour toutes les valeurs de x , de a et de & satisfaisant à la relation

a<^x<C^b, b — a £ iir.

Si, au contraire, x est compris en dehors des limites a et &, la formule (2) cesse d’être exacte, et son premier membre est nul si aucune des quantités zkn -h x n’est comprise entre a et b. Si l’on suppose a — — tt, b = -h i r et x compris entre — n et -f- 7 r, on a

— / - / /(?)<^cosn(Ç — x)

J-îr "J-*

=iïî” m * + x”

*+- oc

~ 2 ^sy , ( c ° s «(ç —

oc -f- «