CO

pour toutes les valeurs de t comprises entre a et b ; ce qui est la formule ( 2 ). Nous terminerons cette discussion en faisant observer que le second membre de la formule ( 2 ), qui a pour valeur f(x ), quand x est compris entre a et représente naturellement une fonction périodique, dont la période est 27r; en sorte que le second membre de la for-

mule (2) est une série convergente, que nous venons d’apprendre à sommer.

Rappelons-nous que f(x) peut être discontinu, mais ne doit pas être infini entre les limites a et b ; mais elle doit avoir un nombre limité de maxima ou de discontinuités.

Ainsi l’on peut prendre pour f(x ) une fonction égale à 1, quand x varie de zéro à 7 r et à — 1 , quand x varie de — tt à zéro} la formule (3 ) donne alors

/(x) = — \ I — / cos «(£ — x)dx - f- I cos/*(£ — x)dx I

2 ~éil J - « J

rr \ 1

sin-r sin 3 .r

sin5x

pour x = o } la valeur du second membre doit être

ou zéro, ce qu’il est facile de constater, et pour x — n on doit avoir — - -f- - ? c’est-à-dire encore zéro} pour x — -

on doit avoir 1 } donc

ce que l’on savait déjà.

Ces formules s’étendent facilement au cas de plusieurs variables} leurs applications à toutes les branches des sciences mathématiques et physico- mathématiques sont innombrables } nous nous bornerons ici aux seuls développements qui intéressent l’analyse des chances.

CBAP1TRB I.

ANALYSE COMBINATOIRE.

Formule de Fourier.

Reprenons la formule ( 2 ) du paragraphe précédent et faisons a — o, b — lit, nous aurons

■hii:

/(l)cosn(E — jt

et, en posant

2 jt(t — a) 2jr(r — a)

il vient

/ 2îtf — 2 ita\ i V C b J r — a\ 2 w(t — f)2jriér

A ) =s2ij.

en posant

„ / 2izt — 2lt(I

A rrr-

et en réduisant, il vient

1 v C b , 2nn(z-t)

et cette formule a lieu pour toutes les valeurs de £, comprises entre a et &, car l’équation { 1 ) avait lieu pour les valeurs de x comprises entre zéro et 27t; et quand on suppose x compris entre zéro et 7r , il faut supposer t compris entre a et b.

Rien n’empêche maintenant de faire a — — co , b = 00 et de poser

alors l’équation ( 2 ) s’écrit

■ oc

<j>(t) cos 2 TT u (r — t)dxdu.

Et l’intégration, par rapport à t, doit être effectuée la première, comme cela résulte de notre mode de démonstration. La formule (3) est celle que l’on appelle la formule de Fourier ; on peut lui donner la forme

ou bien encore

/ -+- oc /»