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(*) C’est ici l’occasion de rectifier une erreur généralement répandue parmi les physico-mathématiciens et chez les meilleurs esprits. On a cru pouvoir déduire de (4)> en différentiant par rapport à t,

Mais cette formule est ordinairement fausse; les cas où elle est exacte sont exceptionnels : je vais les signaler. D’abord je ferai observer que la formule ( 1 ) ne peut pas être difierentiée par rapport à x , car elle perd sa convergence pour des valeurs imaginaires de x ; les cas où elle ne perd pas sa convergence sont exceptionnels. En effet, si la série qui constitue le second membre de ( 1 ) ne perd pas sa convergence pour des valeurs imaginaires de x, cette série représente une fonction continue monodrome et monogène

de e^~ x ^~\ c’est-à-dire une fonction périodique continue, monodrome et monogène de a:. Donc f(x) devrait être périodique pour que(i) eût lieu pour les valeurs imaginaires de x. Mais, en vertu d’un théorème que j’ai établ i pour la première fois en 1 863, on ne peut différentier une série que pour les valeurs de la variable pour lesquelles la série reste convergente, et tout autour desquelles elle reste convergente, ce qui n’est pas ici le cas. Or la formule (4) n’est qu’une transformée de ( 1 ); on ne pourra donc en dé-