CHAPITRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES
Une urne contient deux boules blanches et trois boules noires, en tout cinq; la probabilité d’extraire une boule
blanche en tirant au hasard dans l’urne sera parce que
le nombre des cas favorables est a et que celui des cas possibles et également possibles est 5.
La définition que nous venons de donner de la probabilité semble exclure l’estimation mathématique des chances de certains événements, ceux dont l’arrivée ne se rapporte pas à un nombre de cas également possibles ; mais un examen attentif des questions permet presque toujours de décomposer les cas inégalement possibles en d’autres plus simples, et dont les arrivées ont des chances identiques.
Reprenons, par exemple, l’urne contenant deux boules blanches et trois boules noires ; supposons les boules noires sphériques et égales , et les boules blanches formées de l’accouplement de deux sphères égales aux boules noires et reliées par un fil, il est clair que la facilité de l’extraction d’une boule blanche sera plus grande que celle d’une boule noire, et il serait absurde de dire que la probabilité de
l’extraction d’une boule blanche est Maison peut considérer chaque boule blanche comme formée de deux parties, sur lesquelles on peut mettre la main avec la même facilité que sur une boule noire; alors le nombre des cas favorables devient 4 , celui des cas possibles 7 , et la probabilité cherchée -•
Il est important d’observer que, quel que soit le mode de , subdivision des cas possibles et également possibles, la probabilité d’un événement conserve la même valeur; cette proposition est l’axiome fondamental du calcul des probabilités.
De la définition que nous avons donnée de la probabilité d’un événement, il résulte que toute probabilité est un nombre compris entre zéro et l’unité; car le nombre des cas favorables à l’arrivée d’un événement E ne peut surpasser le nombre m des cas possibles; on a donc
d’où l’on tire
— est par définition la probabilité de E; cette probabilité est
donc nécessairement comprise entre zéro et i. Elle peut être zéro, et, dans ce cas, l’événement dont on cherche la probabilité, n’ayant aucune chance favorable, ne peut se présenter; elle peut être i, et alors tous les cas possibles sont favorables, par suite l’événement attendu est certain. Ainsi zéro et i sont des symboles de certitude.
Nous devons cependant apporter une restriction aux dernières propositions que nous venons d’énoncer : nous avons supposé les cas possibles et favorables en nombre limité; plus loin nous verrons qu’il y a lieu de considérer quelquefois des nombres illimités de cas, et alors zéro et i ne sont plus des symboles de certitude mathématique, mais de certitude morale.
Recherche de la probabilité par les méthodes directes
Problème I. — Une urne contient « houles blanches, /3 boules noires , y boules rouges, etc.; on demande la probabilité d' extraire une boule blanche, une boule noire, une boule rouge, etc.
La probabilité d'extraire une boule blanche s’obtiendra
