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Problème IV. — La loterie royale établie sous l’ancien régime, supprimée en 1793, rétablie en 1797 et supprimée définitivement en 1839, se composait de quatre-vingt-dix numéros dont on en tirait cinq au sort; on pouvait désigner un, deux, trois ou quatre numéros à l'avance : c’était, ce que l'on appelait jouer l’extrait, l’ambc, le terne, le quaterne ; on a souvent parlé du quine, mais il ne se jouait, pas ; enfin la mise des joueurs sur le quaterne ne pouvait pas dépasser 1a francs.

Le joueur gagnant l’extrait recevait i 5 fois sa mise, celui qui gagnait l’ambe recevait 270 fois sa mise, le tqrne rapportait 55 oo fois la mise et le quaterne 7500 fois. Cherchons dans ces conditions quelles étaient les probabilités que les joueurs avaient de gagner l’extrait, l’ambe. le terne, le quaterne , le quine.

Cherchons d’abord la probabilité de l’extrait simple: soit n le nombre total des numéros et rn le nombre des numéros tirés, le nombre des cas possibles est évidemment C™, car on peut tirer avec une égale facilité l’une quelconque des combinaisons de n numéros pris m à m. Le nombre des cas favorables est celui des combinaisons de n objets pris m à m,