CHAPITRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES

dans lesquelles un des objets désigné à l’avance se trouve compris. Otons cet objet, on aura les combinaisons de n — i objets restants m — i à m — i ; le nombre des cas favorables est donc Cj*”, 1 , et, par suite, la probabilité de l’extrait est C™iy l C? pour n = 90, m = 5 ; on a

L’Etat aurait donc dû donner au joueur 18 fois sa mise et non i 5 fois (*).

Cherchons maintenant la probabilité de tirer a numéros désignés à l’avance.

Le nombre des cas possibles reste comme tout à l’heure C™; pour avoir le nombre des cas favorables, observons que ces cas sont les combinaisons de n numéros pris m à tu, dans lesquelles entrent « numéros désignés ; supprimons ces numéros, nous aurons des combinaisons de n — a objets pris m — a à m — a, nous aurons meme toutes ces combinaisons; car, en ajoutant aux combinaisons des n — a numéros pris m — - cl à m — a les numéros ôtés d’abord, on retrouvera des résultats qui seront des combinaisons de m numéros pris n à n. Enfin il va sans dire que les résultats considérés seront distincts; car, s’ils ne l’étaient pas, en y remettant les lettres ôtées, on obtiendrait des cas favorables qui ne seraient pas distincts non plus. En résumé, le nombre des cas favorables est C^T« a , et, par suite, la probabilité cherchée est C^T a a l C”.

En faisant successivement a. = 1 , 2, 3 , 4 ? 5 et n = 90,

(*) Nous verrons plus loin que dans un jeu équitable les mises doivent être en raison directe des probabilités que les joueurs ont de gagner; mais on peut déjà regarder ce principe comme indiqué par les règles du bon sens.

m = 5, on a

CALCUL DBS PROBABILITÉS.

La probabilité de l’extrait simple . . .

« de l’ambe

- du terne

« du quaterne

» du quine

8 or ’

Ces nombres, comme on voit, n’étaient pas en rapport avec les gains que les joueurs pouvaient espérer.

Problème V. — Quelle est la probabilité de tirer, dans une loterie de n numéros, a. numéros désignés sur m, mais à des places déterminées à l’avance?

Pour résoudre cette question, nous regarderons non plus chaque combinaison de n numéros m à m, mais chaque arrangement de n numéros m à m comme un cas favorable ou possible, car cette fois il faut tenir compte de l’ordre dans lequel ils se présentent. Le nombre des cas possibles sera alors A”, celui des cas favorables sera celui des arrangements de n numéros m à m, dans lesquels entrent a. numéros donnés dans un ordre donné. Supprimons ces a. numéros, nous obtiendrons des arrangements de n — a numéros m — « à m — «, tous distincts, car, s’ils n’étaient pas distincts, en intercalant à leurs places les numéros désignés, on n’aurait pas des résultats distincts 5 enfin il est clair que tous les arrangements de « — a numéros m — a. à m — » s y trouveront. La probabilité demandée est donc