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c’est-à-dire cinq fois plus faible que celle de l’extrait simple, ce qui était à peu près évident à priori, si l’on réfléchit que les cinq extraits déterminés ayant à priori la même probabilité, l’un quelconque d’entre eux sc présentera cinq fois quand l’un d’eux, déterminé à l’avance, se présentera une fois seulement. Ce raisonnement sera rendu rigoureux un peu plus loin.

Probabilité composée.

Théorème I. — Lorsqu'un événement E 5e compose du concours de plusieurs autres e 1} e 2 , e 3 ,..., dont les arrivées ne se gênent en aucune façon , la probabilité de E est le produit des probabilités de e,, e*,. . . .

Soit, en général, m { le nombre des cas favorables à l’arrivée de e, et n L le nombre des cas possibles, la probabilité

de e. sera — • Considérons d’abord l’événement qui se com-

pose du concours de e x et de e 5 *, si ces événements 11e se gênent pas, en d’autres termes s’ils sont tout à fait indépendants, à chacun des m , cas favorables à l’arrivée de e x correspondront m % cas favorables à l’arrivée de e 2 ; donc, quand on attend l’événement e x e 2 , le nombre des cas favorables est m x m t *, on verrait de même que le nombre des cas

CALCUL DES PROBABILITES.

possibles est « f n, ; donc la probabilité du concours de e i et de e, est

or — et — sont les probabilités de e, et de e»; le théorème n, n ,

est donc démontré pour le cas de deux événements ; si l’on considère alors l’événement composé de e,, de e, et de <?,, on pourra le considérer comme composé du concours de

e, e,, d’une part, dont la probabilité est ^ et de e, dont

la probabilité est — ; sa probabilité sera, d’après ce que

nou? venons de voir,

72| /2j /Z) /Zj ZZj

et ainsi de suite pour un nombre quelconque d’événements e, e, e t . ...

Théorème II. — Lorsqu'un événement F dépend du concours de deux autres E et E', et que l’arrivée de E' est subordonnée à celle de E, la probabilité de F est le produit de la probabilité de E, par la probabilité que K ayant eu lieu E' aura lieu.

En effet, désignons par p le nombre total des cas possibles, et également possibles, qui peuvent se présenter quand on attend l’arrivée de l’événement F qui dépend du concours de E et de E'. Sur ees p cas, supposons qu’il y en ait f favorables à l’arrivée de l’événement E. La probabilité de E sera alors mais quand l’événement E est arrivé,

l’événement E' peut avoir lieu d’un certain nombre de manières que l’on peut désigner par f. Ainsi f est le nombre

GHAFITRE II. — EXPOSITION DES MÉTOODES. 4^

des cas favorables à l’arrivée de cet événement E' quand E a déjà eu lieu 5 mais E pouvant avoir lieu de f manières, f est le nombre des cas possibles quand on attend l’arrivée f

de E'. Ainsi —• sera la probabilité de E' quand E aura eu

lieu \ mais la probabilité de l’événement F est — > car p est

le nombre des cas possibles et f' est le nombre des cas favorables à l’arrivée successive de E et de E ; , c’est-à-dire f f f 1

de F; or — = — -p- : le théorème est donc démontré.

C’est dans ces théorèmes que consiste ce que l’on appelle le principe de la probabilité composée. Pour bien les faire comprendre, nous allons les appliquer à quelques exemples.

Problème I. — Étant données deux urnes contenant V une a boules blanches et b noires , V autre a 1 blanches et b ' noires, on demande la probabilité de tirer une boule blanche de chaque urne.

L’événement dont on demande la probabilité dépend du concours de deux événements dont les arrivées ne se gênent pas, et, par conséquent, sa probabilité s’obtiendra en multipliant la probabilité d’extraire une blanche de la première urne par la probabilité d’extraire une blanche de la seconde : on trouve ainsi, pour le nombre demandé,

résultat auquel il serait facile d’arriver directement.

Problème II. — Une urne contient a boules blanches et h noires ; on tire successivement de cette urne n boules ; on demande la probabilité que la première soit blanche.

la seconde noire, la troisième noire , etc., les couleurs se succédant ainsi dans un ordre déterminé .

i° Supposons d’abord que l’on remette les boules dans l’urne après chaque tirage, la sortie successive de plusieurs boules est un événement composé, la probabilité que la première boule tirée sera blanche, la seconde noire, etc., sera le produit des probabilités de tirer une blanche, de tirer une noire, etc., et l’on aura, en définitive, pour expression de la probabilité cherchée,

et, en général,

p désignant le nombre des blanches que l’on veut voir sortir et v celui des noires; cette probabilité (et c’était évident à priori) ne dépend donc pas de l’ordre dans lequel on veut voir sortir les boules.

2° Supposons maintenant que les boules tirées ne soient pas remises dans l’urne, la probabilité de tirer une blanche, puis une noire, l’arrivée du second événement dépendant de celle du premier, sera égale au produit de la probabilité

a a -—^ de tirer une blanche, par la probabilité qu’une

blanche ayant été tirée on tire une noire au second coup.

Cette dernière probabilité est ~ — - - ; en effet, le nombre

des cas favorables est celui des cas possibles a — i -f- b ; car il n’y a plus que a — i boules blanches dans l’urne, une boule blanche ayant été tirée au premier coup. On voit ainsi que la probabilité de tirer successivement une