CHAPITRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES

blanche et une noire est

Supposons que l’on demande la probabilité de tirer, en outre, une* noire au troisième coup, il faudra multiplier la probabilité que nous venons de trouver par la probabilité de tirer une noire; en supposant que l’on ait ôté préalablement de l’urne une blanche et une noire, cette dernière

probabilité est et, par suite, la probabilité de-

mandée est

en continuant ce raisonnement, on voit que la probabilité de tirer blanche et noire, dans un ordre donné et sans remettre les boules après chaque tirage, est

H étant le nombre des blanches, v celui des noires que l’on désire voir sortir.

Principe de la probabilité totale.

Nous appellerons cause d’un événement, dont l’arrivée n’est pas certaine, ce qui lui donne sa probabilité. Si, par exemple, une urne contient une boule blanche et une boule noire, la cause de l’extraction de la blanche ou de la noire sera la composition de l’urne en blanches et noires. Comme on le voit, le mot cause n’est pas détourné de son sens, il

reçoit une acception plus générale; la cause d’un événement certain sera ce qui lui donne la probabilité i ou sa certitude, ce sera bien sa cause dans le sens propre du mot.

Nous dirons que des causes Ci, C*, C 3 ,... s’excluent mutuellement, si l’événement attendu, arrivant sous l’influence de l’une d’elles C t -, on est sûr qu’aucune autre cause n’agira en même temps pour le produire.

Théorème. — Si un évènement E peut être attribué à plusieurs causes Cj, C*,. . ., C,,. . . qui s’excluent mutuellement, sa probabilité P sera donnée par la formule

P = Pi q\ H - fi <?**+■ • • • H- P»qi ■+■ • • • i

où pi désigne, en général, la probabilité de E lorsque la cause C, agit certainement et où q t désigne la probabilité que cette cause est en jeu.

Désignons par N le nombre total des cas également possibles qui peuvent se présenter quand on attend l’arrivée de E, par n L le nombre des cas dans lesquels C, agit et m { le nombre des cas où, C t agissant, E a lieu. Remarquons bien que les causes Ci, C 2 ,. . . s’excluent et, par conséquent, le nombre total de cas où E peut se présenter est

il serait inférieur à . .-H -K . ., si les causes ne

s’excluaient pas, parce que l’on compterait en trop les cas où E aurait lieu à la fois sous l’influence de deux ou plusieurs causes. Le nombre total des cas favorables à l’arrivée de E étant donc m x -f- /w 2 -+-. . .-f- ///, . . . , la probabilité

cherchée P sera

p m, -f* ntj -+- . . . ni, -h . . .