CHAPITRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES

ce que l’on peut écrire

m x n i m, n 2 /?, IN ! /i, N

ni N

mais, en général, — est la probabilité /?, que, C,- agissant,

E aura lieu, puisque c’est le rapport du nombre des cas favorables à l’arrivée de E au nombre total des cas qui

peuvent se présenter, quand C 4 agit ; — est, par définition,

la probabilité q L de C 4 - ; donc on a bien

P = Pi q\ 4" />, q, 4- . . . 4- Pi qi 4- . . . ,

ainsi que nous l’avions annoncé.

On voit que la démonstration précédente manquerait de solidité si les causes C t , C*,. .. pouvaient agir simultanément; il faudra donc, dans les applications, vérifier, avec le plus grand soin, si les causes en jeu s’excluent réellement.

Par le seul fait de l’action de quelques causes ou meme de toutes les causes, il peut se faire que l’événement ait forcément lieu; alors certaines quantités /? s ,. . . sont égales à l’unité; en d’autres termes, les nombres de cas favorables à l’action des causes sont précisément les nombres de cas favorables à l’arrivée de l’événement. On énonce quelquefois le théorème, dans ce cas particulier, comme il suit :

Théorème II. — Lorsque les cas favorables à l'arrivée d’un événement peuvent se présenter de plusieurs manières, qui s’excluent mutuellement , la probabilité de cet événement est égale à la somme des probabilités que V événement se présentera de chacune de ces manières.

On peut immédiatement en conclure que, la probabilité d’un événement étant p , celle de l'événement contraire

5o CALCUL DES PROBABILITÉS,

étant çr, on a

car le fait de l’arrivée ou de la non-arrivée d’un événement est un fait certain ; sa probabilité a priori est i . L’arrivée ou la non- arrivée sont deux façons dont ce fait peut se présenter : sa probabilité est donc aussi p -+- q.

Ces principes sont tellement importants, que nous croyons devoir en donner une nouvelle démonstration avant d’aller plus loin.

Le produit p t q- t est (en vertu du principe de la probabilité composée) la probabilité que la cause C,- agira pour produire l’événement E et que, cette cause ayant agi, l’événement E aura lieu; si l’on pose

p> <ii n»

/•,• sera la probabilité que l’événement E aura lieu sous l’influence de la seule cause C,-. Or on peut admettre que la probabilité ‘cherchée de E ne dépend que des quantités /*, , 7 - ,,. . ., . . ; mais alors on peut supposer que r,, 7*,...

sont des fractions réduites au môme dénominateur et poser

D — jÿ — 7-,,..., jj r *’

la probabilité cherchée ne dépendant, par hypothèse, que de 7*| , 7’,,. . ., on peut changer la nature du problème que l’on résout et supposer que, quand C,- agit, le nombre des cas favorables qui peuvent se présenter est 77,-, le nombre total des cas étant D; la probabilité cherchée est donc

ou r| + r,+ ,.., c. q. F. d.

Il est essentiel d’observer que, de quelque manière que