CHAPITRE 11. — EXPOSITION DES MÉTHODES

maximum ou son minimum pour certaines valeurs de ses variables ; si l’on donne aux variables des valeurs discontinues, il y aura maximum ou minimum, quand les valeurs discontinues seront précisément égales à celles que l’on trouve, en admettant la continuité.

En tout cas, la probabilité inaxima ou minima que l’on peut obtenir est la même que si toutes les boules étaient dans la même urne. Toutefois la condition imposée à a,, a,,. . . , d’être positifs ou tout au moins nuis, introduit une nouvelle discontinuité, qui fera que d’autres maxima ou minima s'introduiront dans la question.

Problème V. — Deux urnes contiennent : l'une a boules blanches et b boules noires, l’autre a 1 blanches et b ' noires. On tire k boules de la première urne , pour les mettre dans la seconde ; on demande la probabilité de tirer mie boule blanche de la seconde après cette opération. On suppose k a et <^b.

Plusieurs cas ou causes peuvent donner lieu à l’extraction d’une boule blanche : i° on a tiré k boules blanches de la première urne et zéro boules noires ; i° on a tiré k — i blanches et i noire } 3° on a tiré k — 2 blanches et 2 noires, etc. . .. Les probabilités respectives de ces hypothèses sont, comme nous l’avons vu (p. 3 9 ),

C k r*k — 1 /-> 1 — a /-ij

a Ai,, Ai/, A./,

à 'A pA

A^< -4- b Aj u + b A t a b

dans le premier cas, la probabilité de tirer une blanche (si l’on était certain que ce cas s’est présenté) serait

— ^ ^ ^ i dans le second cas, la probabilité de tirer une

blanche serait et ainsi de suite. La probabilité

cherchée est donc

'CJ a’

ou bien

Si le nombre k était plus grand que l’un des nombres a et b ou meme plus grand que chacun d’eux, la marche à suivre pour résoudre la question serait la même, seulement il faudrait faire attention que, si, par exemple, on avait *>«, on ne pourrait plus supposer que, dans le tirage de la première urne, on a extrait k blanches } la première hypothèse à faire serait l’extraction de a blanches et de k — a noires } la seconde serait l’extraction de a — i blanches et de k — a - b i noires et ainsi de suite, et la formule (i) subsisterait encore dans ce cas, pourvu que l’on convînt que le symbole représente zéro, toutes les fois que k est supérieur à a.

Nous pouvons vérifier notre formule, en supposant b'— o, a ' o ; la probabilité devient alors

[xc*-h(x-~i)cî“ , c/-4-(X-2)cî- a c^ + ...]:CÎ + t x-.

Si Ton y fait k — i , 2, 3,. . ., on trouve toujours — ce

qui devait être a pi io/'i, puisque la question revient, dans ce cas, à demander la probabilité de tirer une blanche de la première urne.

Résolution des questions de probabilités par le théorème de Bayes. Je rappelle, avant d’aller plus loin, que l’on dit que les