CHAPITRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES

causes d’un événement s'excluent mutuellement, quand, l’une d’elles agissant certainement, les autres n’ont plus d’influence sur l’arrivée de l’événement. Je rappelle aussi que la probabilité d’une cause est la probabilité qu’elle est en jeu. Cela posé, nous allons passer à la démonstration d’un théorème fondamental dû au géomètre anglais Bayes.

Théorème I. — Soient p \ , p f ,... les probabilités

que des causes C,, Cj,..., C,-,..., s’ excluant mutuellement, donnent respectivement à l’ événement E. Soient q t , q <7,,... les probabilités de ces causes. Supposons maintenant que V événement E ait été observé dans une épreuve, la probabilité o, que l'arrivée de l’ événement observé est due à la cause C,- est donnée par la formule

PiSi

Pi ?i -+- pt q, + . . -+- pi qt- .

En effet, soit H; la probabilité que, avant toute épreuve, E ait lieu sous l’influence de C,-; en vertu du principe de la probabilité composée, pour obtenir H,-, il faudra multiplier la probabilité que C,- est en jeu ou q t par la probabilité que, C, agissant, E aura lieu ou p,-; donc

mais, en vertu du même principe de la probabilité composée, H,- s’obtient en multipliant la probabilité P de l’arrivée de E, considérée a priori, et d’une manière absolue par la probabilité que, cet événement ayant eu lieu, il soit dû à l’influence de C,-, probabilité que nous avons désignée par ct,-. On a donc aussi

d’où l’on tire, en comparant avec la formule (i),

(2) Po j-p.qi-,

mais P est la probabilité déterminée a priori de E ; cette probabilité est donnée par la formule

P = Px <7. -+- Pi q-i 4- ■ • ■ + Pi <]i 4- • • • »

qui résulte du principe de la probabilité totale. De cette formule et de la formule ( a ) on tire

Pi' 7 .

Pi <li

ce qu’il fallait démontrer.

Quand les causes ont les mêmes probabilités , la formule (3) devient

xs t — ;

Théorème 11. — Les mêmes choses que dans le théorème précédent étant posées, la probabilité pour que l’événement E', auquel les causes C, , C,,..., C,-,... donnent les probabilités p' , p \ , . . . , r>' , ..., ait lieu quand on a observé E, est donnée par la formule

(4) p\ D| -+- p\ CT, -l- ... 4- Pi CT, 4“ . . .

ou

( 5 ) P' P< ?■ + P 1 Pt ?»-+- • ••-*- Pi Pi H •*• • • •

p, q, -+- pi q-i -+- • • • 4- Pi <?i -+-•••

En effet, la formule (4) est la formule même du principe de la probabilité totale appliquée à l’événement E', et la formule (5) s’en déduit en remplaçant et,, n t ,..., gj,,... par leurs valeurs tirées de la formule (3).

Problème I. — Une première urne contient a, boules blanches et 6, noires, une seconde urne contient a t boules blanches et b, noires, etc. : on tire de ces urnes une boule