CHAPITRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES. 5g

qui se trouve être blanche, quelle est la probabilité qu elle soi t de la première urne?

Les causes sont ici les compositions des urnes; les probabilités que ces causes donnent à l’événement observé sont

— — r- » — t-j • * • • Soit n le nombre total des urnes, la

ci x -f- b x rtj — J— b-x

probabilité que la main se portera sur chacune d’elles, avant d’observer l’événement est et, par suite, l’application du théorème de Bayes donne, pour la probabilité que la boule est sortie de la première urne,

: \ -, ou — : > , •

Si a -f- b est le même pour chaque urne, on a simplement et, si l’urne n° i contient le plus de blanches,

c’est d’elle qu’il est le plus probable que sort la boule en question, ce qu’indiquaient a priori les règles du bon sens.

Problème II. * — Une urne contient des numéros marqués i, 2 , 3, en tirant au hasard , on extrait les

numéros a, b, c,..., /; on demande, d’après cela, le nombre probable des numéros contenus dans l'urne .

Les numéros «, I extraits constituent un événe-

ment dont les causes sont les hypothèses que l’on peut faire sur le nombre des numéros contenus dans l’urne; supposons ce nombre égal à x, la probabilité que ce nombre est x sera donnée par la formule

p x désignant la probabilité que le nombre x donne a priori à la sortie des [numéros «, ô, . . . , /, que nous supposerons

rangés par ordre de grandeur et croissants *, le signe E doit s’étendre de l à l’infini, car on ne peut pas supposer x<^l.

Calculons donc p x \ le nombre des cas possibles est C£, n désignant le nombre des numéros tirés, et le nombre des cas favorables est i;ona donc, pour la probabilité de l’hypothèse que nous avons faite,

Cî

ou bien

— i)...(.r — n -+■ i) ( x(.r — l)...(cr — n -4- i)

le dénominateur est une série convergente dont on peut trouver la valeur en partant de la formule

gl—n

En intégrant n fois de zéro à z, la dernière intégration se faisant en prenant 2 = i,ona

(/ — fi — H I (/ — n H~ 2 J . . . (/ -4- i )

ou bien

dz.

On peut ainsi calculer, par les fonctions T ou par les séries à volonté, la probabilité de chacune des hypothèses faites sur le nombre des numéros ; l'hypothèse qui a le plus de poids est, comme l’on voit, celle qui correspond à la