CHAPITRE II

EXPOSITION DES MÉTHODES

plus petite valeur possibfc de x, valeur qui est x = /; et, dans ce cas, la probabilité de l’hypothèse est l’iuverse de la série

le cas de l = n doit être remarqué ; la probabilité est alors l’inverse de la série

,+ rTi + (/ -+- 1) (/ -t- 2) + (7 + 2) (l -+- 3) + " ' ’

dont la valeur approche sans cesse de l’unité à mesure que / croît.

Examen des cas où l'emploi du calcul infinitésimal devient nécessaire.

Jusqu’ici nous 11e nous sommes occupés que de l’estimation des chances d’événements qui 11c pouvaient se présenter que d’un nombre fini de manières; il y a des questions dans lesquelles le nombre des cas possibles et favorables peut croître indéfiniment lorsque l’on cherche à les rendre tous également possibles. Je suppose, par exemple, qu’on lance un dard très-aigu au hasard dans une cible de surface S; sur cette cible on a tracé un contour fermé renfermant l’aire s. Si l’on demande la probabilité que le dard pénétrera à l’intérieur du contour J, pour résoudre la question, il faudra décomposer les aires S et s en portions rectangulaires égales et infiniment petites; chacune d’elles aura la même chance d’être atteinte par le dard, mais leurs nombres sont entre eux comme S et 5; par

suite, la probabilité cherchée est - •

Lorsqu’il devient ainsi nécessaire de subdiviser les cas

à l’infini pour leur donner des facilités égales, le Calcul infinitésimal, déguisé ou non, s’introduit forcément dans l’analyse des hasards ; zéro et 1 ne sont plus alors des symboles de certitude absolue. Si, par exemple, on suppose dans la question précédente que le contour s se réduise à

un point, il est clair que le rapport - sera zéro : il y aura

certitude morale de ne point atteindre le point s avec le dard, bien que cet événement ne soit pas mathématiquement impossible.

Problème I. — On casse au hasard une tige très-mince en trois morceaux, (/uelle est la probabilité que ces trois morceaux pourront servir à construire un triangle?

Il est essentiel de dire ce que nous entendons par une tige cassée au hasard en trois morceaux : nous voulons dire par là que l étant la longueur de la tige et a, &, c étant les trois morceaux, pourvu que l’on ait a -j- b H- c = /, chacune des combinaisons obtenues, en attribuant à n, A, c des valeurs quelconques, peut se présenter avec la même facilité.

Partageons la tige en un très-grand nombre in de parties égales, et admettons d’abord que la tige ne puisse se casser qu’aux points de division. Soient x,y, s les nombres de divisions contenues dans les trois morceaux ; pour que le triangle soit possible, il faudra que l’on ait

z<^x-hy,

et, en remplaçant z par in — x — y,

x<«, .rO, i+r>n.

Ces formules seront satisfaites en prenant x y — n — 1 ; x =3 avec y — n — 1 , « — 2; x y — n — i, n — 2, n — 3 ,...; et enfin x — 11

— 2 avec = 4 avec

— 1 avec