CHAPITRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES
Ainsi, quand on tire dans une cible tournante placée à une distance assez grande pour qu’il y ait à peu près la même chance d’atteindre un quelconque de ses points lorsqu’elle ne tourne pas, la chance que l’on a de l’atteindre
quand elle est en mouvement est à peu près les - de celle
que l’on avait de l’atteindre quand elle est au repos.
Problème IV. — Deux individus A, B se donnent rendez-vous pour le même jour au meme endroit; ils conviennent de s’ attendre pendant une heure, sans préciser le moment où ils arriveront dans l'endroit en question; quelle est la probabilité qu’ils ont de se rencontrer?
La rencontre peut avoir lieu de deux manières : ou A arrive le premier au rendez-vous, ou B y arrive le premier;
chacun de ces événements a pour probabilité si l’on
désigne par P la probabilité de la rencontre quand A arrive le premier, elle sera aussi P quand B arrivera le premier, et la probabilité de rencontre dans l’une ou l’autre hypothèse sera
c’est-à-dire encore P. Nous pouvons donc supposer que A arrive le premier sans altérer la probabilité cherchée. Comptons le temps à partir de l’origine de la journée du rendez-vous et désignons-le par t ; soit T la durée de la journée et r celle de l’heure en fonction d’une unité de temps que nous laisserons indéterminée. A peut arriver à chacun des instants de la journée, et la probabilité qu’il
, dt
arrive a une époque comprise entre t et t -t- at est — ;
considérons l’arrivée de A comme une cause, la probabilité
68 CALCUL t)ES PROBABILITÉS.
de la rencontre, quand cette cause est un jeu, sera égale au rapport du nombre J- des cas où B arrivera pendant le
séjour de A au nombre total — — - des cas qui pourront se
présenter, nombre qui est mesuré par l’intervalle compris entre les époques t et T, puisque A est arrivé nécessairement avant B. La probabilité de la rencontre, en vertu du principe de la probabilité totale, sera la somme des produits
dt T T X T — t
ou
r dt
Toutefois, il faut observer que si A arrive aux époques comprises entre T — t et T, la rencontre est certaine : il faudra donc prendre l’intégrale précédente entre les li-
dt
mites zéro et T — r, et y ajouter l’intégrale de — X i ou
dt
de - prise entre les limites T — t et T *, car, entre ces
limites, la probabilité de la rencontre n’est plus mais bien l’unité. On a ainsi
Jo T(T-')^J T -r T
dt
ou bien
p — - Ÿ Io 8t f ’
la probabilité cherchée ne dépend donc que du rapport ^ Prenons la journée de douze heures, nous aurons
= = — et P — 1 log 1 2.
CHANTRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES. 69
En effectuant les calculs, on a à peu près
On peut contrôler l’exactitude de la formule (i) en prenant t = T ; dans ce cas on a un rendez-vous ordinaire entre gens exacts. La rencontre est certaine, on doit dont avoir P = i : effectivement, si l’on fait T = r dans (i), on trouve bien P = i. De même, si l’on y fait t = o, on trouve P = o, et, en effet, on conçoit que, si les séjours de A et de B sont infiniment courts, ils risqueront fort de ne pas se rencontrer.
On a ici un ôxemple de probabilité nulle qui n’indique pas une impossibilité absolue, mais une impossibilité morale. Effectivement, les individus A et B peuvent passer au même instant au rendez-vous, mais cet événement en luimême n’a aucune chance en sa faveur.
La considération de l’infini s’introduit quelquefois d’une manière différente dans les questions de probabilités. Ainsi il peut se faire que l’application du principe de la probabilité totale ou de la probabilité composée conduisent à des séries ou à des produits infinis. JNous allons en donner quelques exemples.
Problème V. — Un individu tire dans une urne deux fois de suite, cette urne contient une blanche et une noire: s’il tire deux fois blanche, il gagne i franc, s’il ne tire pas deux fois blanche, on le laisse tirer encore deux fois de suite dans une urne qui contient deux noires et une blanche, et ainsi de suite, en augmentant toujours de i le nombre des boules noires. Quelle est la probabilité que cet individu a de gagner son franc?
Il est plus commode, pour résoudre la question, de chercher la probabilité que l’individu a de ne pas gagner le
franc, parce que c’est chercher la probabilité que le tirage se continuera indéfiniment; nous avons alors affaire à un événement composé des suivants : i° que dans la première urne l’individu ne tirera pas 2 fois blanche de suite : la
probabilité de tirer blanche 2 fois de suite est ^ x ^ ou et la probabilité de ne pas tirer 2 fois de suite blanche est ^1 — ^ ; 2 0 que dans la deuxième urne l’individu en question ne tirera pas 2 fois de suite blanche : la probabilité de cet événement simple est 1 — et ainsi de suite;
la probabilité cherchée est donc
.-ïA-jM 1
fl J
or on a
sm x — x
d’où l’on tire
et, en faisant x = 7 r,
Ainsi la probabilité que l’individu a de ne pas gagner
