CHAPITRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES

Si l’on suppose que l’on prenne le nombre m de plus en plus grand, cette quantité tend, comme l’on sait, vers la

limite ^ > de telle sorte que, si m est très-grand, on peut estimer sans grande erreur la probabilité cherchée égale à - ; il

n’est pas d’ailleurs sans intérêt de faire quelquefois de ces hypothèses qui ne se réalisent pas, mais qui servent à fixer des limites entre lesquelles varient les quantités que l’on cherche; ainsi, dans l’exercice précédent, on peut voir que,

( i — — \ allant en croissant avec m, la probabilité cher-

chée restera toujours inférieure à -> c’est-à-dire environ

io

Résolution des questions de probabilité par la méthode des fonctions génératrices.

Nous avons vu que l’on pouvait traiter les questions d’analyse combinatoire en considérant les résultats du calcul comme les termes de certains développements; cette méthode est très-fréquemment appliquée dans le calcul des probabilités. Nous allons en donner quelques exemples.

Problème I. — Etant donnés n dés présentant chacun f faces, numérotées 1 , a, 3 calculer la probabilité d'amener un nombre de points a avec ces dés.

On connaît la toupie vulgairement appelée tonton; sa forme générale est celle d’une surface prismatique, terminée par une tige et une pointe; sur chaque face de cette toupie est marqué un numéro ; lorsque le mouvement imprimé à ce petit jouet s’éteint, il tombe sur une de ses

faces; un dé de f faces sera, si l’on veut, un tonton dont la surface prismatique présentera f pans égaux.

Ceci posé, désignons par a, ô, c,. . .,/ les numéros inscrits sur les faces sur lesquelles les dés tombent; les cas favorables à l’arrivée de l’événement attendu sont les manières dont on peut choisir les nombres a, ô, ...,/, de telle sorte qu’ils satisfassent à l’égalité

or, si l’on considère la fonction

(.r -t- x» -f- ** . . . -I- xl)* = X,

le coefficient de x “ dans son développement sera le nombre de manières dont on pourra choisir les exposants de x compris entre i et f, de telle sorte que la somme de n d’entre eux fasse a. Ainsi le coefficient de x * sera Je numérateur de la probabilité cherchée; quant au dénominateur, il sera évidemment égal à la somme de tous les coefficients des diverses puissances de x , somme que l’on peut obtenir en faisant x — i dans la fonction X, et que l’on trouve ainsi égale à/".

Or on a

ou bien

X = i — .rf) n (r — x) - ";

les binômes qui figurent dans cette expression se développent par les formules