CHAPITRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES

d’où l’on conclut facilement le coefficient de x a dans X. En désignant par N tt ce coefficient, la probabilité cherchée devient

Supposons que l’on demande la probabilité d’amener 7 avec deux dés ordinaires, cette probabilité sera le coefficient de x 7 dans

ou de x 5 dans

le coefficient de x s est

Le point 7 est le point qui a le plus de chance de se présenter*, en effet, les probabilités des points 2, 3 , 4 i 5 , 6, 7, 8, 9, 10, 11,12 sont respectivement entre elles comme les nombres 1, 2, 3 , 4 ? ^ 6, 5 , 4 -> 3 , 2, il y a plus, on voit : i° qu’il y a autant de chances d’amener un point supérieur à 7 que d’en amener un inférieur*, 2 0 que deux points dont la somme fait 14 ont des chances égales de se présenter 5 cette conclusion peut être généralisée et étendue à un nombre quelconque de dés présentant le même nombre de faces. La démonstration de ce théorème est facile à établir, en convertissant en intégrale définie le terme général du développement de X, conformément à la méthode donnée

CALCUL DBS PROBABILITÉS.

(p. 5 ), ou bien encore en observant que les termes également distants des extrêmes dans X doivent avoir des coefficients égaux ; on pourrait presque en conclure que le terme du milieu est un maximum, et s’en servir pour calculer le point le plus probable.

Problème II. — Une urne contient des boules numérotées 1, 2, 3 ,. . . , n\ on en tire cl d'un seul coup , et l’on demande la probabilité pour que la somme des numéros tirés soit égale à s.

La probabilité cherchée est celle d’un événement dans lequel les chances favorables peuvent se présenter de plusieurs manières qui s’excluent, à savoir de toutes les manières dont on peut grouper cl des nombres 1 , 2, 3 , . . . , tï, de manière que leur somme fasse s\ or le coefficient de t a x s dans

/(.r, t)~ = ( I -f- tx) ( 1 - 4 - tx 2 ){ 1 4- tx 3 ) . . . (1 4 - tx n )

est aussi le nombre des manières dont on peut prendre parmi les exposants 1,2 , tz, de x, cl nombres dont la somme soit s. Le nombre des cas favorables à l’événement dont nous cherchons la probabilité est donc le coefficient de t^xf dans f(x , £), le nombre des cas possibles est C“, d’où l’on conclura facilement la probabilité quand on connaîtra le coefficient de t a x s . Euler a donné le coefficient de t a sous forme explicite, lorsque n = 00 , dans son Introductio in Analjsin; mais je ne crois pas que l’on connaisse l’expression de ce coefficient dans le cas où n est fini, en fonction de n.

Nous pourrions pousser plus loin l’étude de cette question; nous ne le ferons pas, parce que notre but dans ce Chapitre a moins élé de résoudre des questions difficiles que de montrer comment on devait appliquer et com-