CHAPITRE H. — EXPOSITION DES MÉTHODES

Problème IT. — Deux joueurs A, B possèdent l’un a francs l’ autre b francs; ils jouent i franc la partie; on demande la probabilité que A ruinera B ou que B ruinera A.

Soit f (x) la probabilité que A sera ruiné lorsqu’il possède x francs. A peut être ruiné soit en gagnant, soit en perdant la partie qui va se jouer. S’il gagne, il possédera x-f- 1 francs et la probabilité qu’il sera ruiné sera f{x-h i) ; s’il perd, il possédera x — i francs et sa probabilité d’être ruiné sera f(x — i); mais la ruine de A étant un événement qui peut avoir lieu sous l’influence de deux causes

distinctes dont la probabilité est ^ pour chacune d’elles, à

savoir qu’il gagnera ou qu’il perdra, on aura, en vertu du principe de la probabilité totale,

d’où l’on tire

La différence seconde de f(x) est donc nulle; donc sa différence première est constante : je dis constante et non périodique, parce que nous n’avons évidemment à considérer que des valeurs entières de x ; mais la différence première de f(x) étant constante et égale à c, par exemple, on a

/(ar)=/(x — O-t-c, f(.r — 1)— /(x — 2) - 4 -f,

Or f(o) est égal à i; on a donc, en ajoutant, /(x) = 1 -4- ex.

bo CALCUL DES PROBABILITES.

En faisant x — a et x — b dans cette formule, on a

f[a) — l -bca, /(b) ■= i -h cb;

or f[a ) et f{b) ont pour somme l’unité, car l’un des joueurs A et B sera ruiné; en ajoutant alors les deux formules précédentes, on trouve

cette relation fait connaître c et l’on a

il en résulte

ou, si l’on veut,

On voit ainsi, ce que le simple bon sens indique d’ailleurs, que le joueur le plus riche est celui qui a le moins de chances d’ètre ruiné ; il y a plus, si l’on fait a = co , on trouve /(&) = i, et le joueur qui joue contre un individu infiniment plus riche que lui est inévitablement ruiné; ce joueur infiniment riche existe, c’est le public. Le joueur de profession joue contre le public, et la discussion précédente met en évidence le désavantage de sa position; toujours d’accord avec les principes de la morale, c’est-à-dire du bon sens, le calcul des probabilités fournit souvent des préceptes et de sages conseils dans notre conduite.

Un grand nombre de questions, relatives au calcul des probabilités, conduisent ainsi à des équations aux diiîérences finies; malheureusement les méthodes que l’on a