CHAPITRE II. — EXPOSITION DES MÉTHODES. 8l

pour intégrer ces équations sont fondées sur des théories que nous ne pouvons pas exposer ici, parce qu’elles ne comportent pas une rigueur suffisante, et c’est peut-être ce qui a empêché les analystes modernes de se livrer à l’étude du Calcul des probabilités. On ne voit pas, en ell'et, que cette science ait fait des progrès sensibles depuis Laplace et Poisson, du moins en dehors de ses applications aux méthodes d’observation.

Dans le Traité de Laplace, on peut lire un certain nombre de solutions de problèmes qui conduisent à des équations aux différences finies partielles 5 ces questions sont résolues par la méthode des fonctions génératrices. O11 pourrait souvent représenter directement la solution au moyen d’intégrales définies, mais les résultats ainsi obtenus ne satisfont point assez l’esprit pour que nous en présentions ici des exemples.

Problème III . — A joue avec B ; à chaque partie, les prohabilités quiLs ont respectivement de gagner sont p et y, en sorte que p -f- q = 1 5 ils possèdent en entrant au jeu a francs et b francs; on demande la probabilité que A ruinera B avant le coup de rang n. ,

Soit y (x, y) la probabilité que A ruinera B quand ce dernier possède encore x francs et quand on a encore y coups à jouer. Deux causes peuvent amener la ruine de B : i° le gain de la partie qui va se jouer par A 5 2 0 le gain de la même partie par B. Les probabilités de ces causes sont p et q respectivement; mais la première cause donne à la ruine de B la probabilité f[x — i, y — 1), la seconde lui donne la probabilité y (x -f- 1 , y — 1) ; on a donc, en vertu du principe de la probabilité totale,

( 0 /(•*> f) =pf( * — 1 » y — « ) + tifs* -+- i » y — 0-

8a CALCUL DES PROBABILITÉS.

On intégrera cette équation aux différences en posant

/(■*» y) —ca’br,

c étant arbitraire, et a et b étant simplement assujettis à vérifier l’équation

(i bis ) i —par' b~' 4- qab~'.

ou

b — qa - f- par' ;

on pourra donc prendre

/(*» y) — ca’(ga - 4 . par ')*- , ou, plus généralement,

/(■*> y) —2ca*(qa -4 par')T ,

le signe S s’étendant à une suite indéfinie de valeurs arbitraires de c et de a. Développant alors (qa -±- par 1 )* par la formule # du binôme de Pascal, et posant

2co* = ),

on aura

A*>y) =?'?(*+/) +- j qr-'p<t(x-+y—ï)

Maintenant observons que f(x,jy) est nul pour = o, si B possède quelque chose, c’est-à-dire tant que x est plus grand que zéro. Au contraire, f (x, y) est égal à l’unité, si