CHAPITRE n. — EXPOSITION DES MÉTHODES

x est nul quand y = o, i , 2, 3 , ; en ayant égard à ces

deux remarques, l’équation (2) fournit les relations

( 3 ) o =y(a-) pour * = 1, 2, 3 ,. .

la relation ( 4 ) pourra donc s’écrire, en vertu de la relation ( 3 ),

et dans cette formule on ne doit prendre que les termes où l’argument sous le signe <f est nul ou négatif-, on a alors, pour j = 0, 1, 2, 3 ,...,

On pourra ainsi calculer de proche en proche les valeurs de cf ( o ) , <f ( — 1 ) , cf ( — 2 ) , . . . . La formule ( 2 ) fera alors connaître f (x, y). Mais on peut donner une autre solution de la question; et, en effet, reprenant la formule (1 bis) qui lie entre elles les constantes a et 5 , on en tire

qa'

faisant alors usage de la formule de Lagrange pour calculer n x , on a

+ iXr

La solution de l’équation (i) étant de la forme

ca’br, ou, plus généralement, 2 ca x bï, on pourra écrire

ou bien, en posant Ec£>“ égal à cp(«),

i /(*> r)=p*\^{y — *) + jpvifr- ■* — 2)

— — — p'i'iix — •* — 4 )+--> ■

Or nous avons déjà vu que f[x , o) = o pour x]>o, et f(o,j) = i pour y= o, 1, 2, 3,...; l’équation (5) donne alors

o = ÿ( — x) 4- - pq o( — x — 2) -f- ... ,

La première de ces formules sera satisfaite en posant y(x) = o pour toutes les valeurs négatives de x; la seconde exige, au contraire, que 9(0), 9(1), 9(2),. •• soient égaux